¿Pueden ser sistemas abiertos una tapa abierta, para sí mismo?

Question

He Bebé Rudin del libro conmigo y define claramente una cubierta para ser abierto. En un seguimiento, se define un conjunto $K$ es compacto si toda cubierta abierta de a $K$ contiene un número finito de subcover.

Y el resto cito

Más explícitamente, el requisito es que si $\{ G_{\alpha}\}$ es una cubierta abierta de a $K$, entonces hay un número finito de índices de $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ tal que $$K \subset G_{\alpha_1} \cup \dots\cup G_{\alpha_n}$$

De la notación, parece indicar que no podemos tener $K$ a ser un subconjunto impropio de las cubiertas. Ahora en otro libro (que hace referencia a otro usuario que se hace referencia en el libro) por Richardson (no sé el nombre completo lo siento), es la definición de una cubierta permite que un conjunto de cubierta sí mismo.

Entonces, ¿qué sutileza podría haber posiblemente por alto? Lo siento si este misterioso de referencia es vago, pero yo no podía obtener suficiente información sobre el libro.

Answer 1

Tenga en cuenta que puede cubrir por sí, pero el requisito para que un conjunto sea compacto afirma que todo es posible abrir la tapa tiene un número finito de subcover. Como ejemplo tomemos $I=[0,1]\subseteq\mathbb{R}$ dotado de la topología de subespacio. A continuación, cada cubierta abierta $\{G_\alpha\}_{\alpha\in A}$ $I$ deberá necesariamente contener adecuadamente $I$ $0$ $1$ restante debe ser cubierto por algunos intervalos, decir $(-\delta,\delta)$$(1-\varepsilon,1+\varepsilon)$$\delta,\varepsilon>0$. Esta dice que el $I\subsetneq \bigcup_{\alpha\in A}G_\alpha$ por cada apertura de la tapa, pero como estamos en un espacio métrico y $[0,1]$ es cerrado y acotado es compacto. Por lo tanto, hay un número finito de índices, decir $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ tal que $$I\subsetneq G_{\alpha_1}\cup\cdots\cup G_{\alpha_n}.$$As an alternative, if we consider $X=[0,1]$ as a topological space in its own right, then it is compact and hence every open cover $\{U_\alpha\}_{\alpha\en A}$ of $X$ will be such that $$X=\bigcup_{\alpha\in A}U_\alpha.$$ Esto muestra que, dependiendo del espacio y de si es o no es visto como un subespacio, una apertura de la tapa puede contener adecuadamente el espacio, o puede ser igual a la del espacio.

Answer 2

$K$ puede ser un subconjunto impropio en la definición. Un conjunto abierto, obviamente, forma una cubierta abierta de sí mismo, y es, obviamente, un finito cubierta; pero un conjunto $K$ es compacto si y sólo si cada apertura de la tapa tiene un número finito de subcover (como usted mismo escribió, como por Definición 2.32 en Bebé Rudin).

Usted encontrará muy pronto (si no lo ha encontrado esto) que la definición de compacidad de discutir arriba es el papel"fundamental" de la definición de compacidad utilizado en Rudin. Verás que el capítulo 2 se procede a mostrar que hay formas (usando Teoremas presentadas y probadas) para establecer que un conjunto es compacto si es, por ejemplo, (i) un subconjunto cerrado de un espacio compacto, o (ii) si es en $\mathbb{R}^n$ e es cerrado y acotado, etc ...

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Creo que la confusión principal aquí es con la notación Rudin utiliza para denotar "es un subconjunto de."

Generalmente, los autores (como Richardson) el uso de $\subseteq$ para denotar subconjunto o la inclusión del conjunto en general (que significa "es un subconjunto de o es igual a") y el uso de $\subset$ exclusivamente para denotar "es (estrictamente) subconjunto de".

Otros autores, como Rudin, simplemente utiliza el $\subset$ para denotar la relación de inclusión: "es un subconjunto de o es igual a". Algunos, pero no Rudin en el PMA, el uso del símbolo "$\subsetneq$" para referirse a la exclusión de la igualdad (es decir, para referirse a un subconjunto). Consulte la "Lista de Símbolos Especiales", que precede inmediatamente al "Índice" en el Bebé Rudin: Rudin no hace mención, ni cualquier uso del símbolo $\subseteq$ ni de el símbolo $\subsetneq$ en su texto.

Por tanto, para especificar "$A$ es un subconjunto de a $B$", Rudin se especifique en cierto sentido, que él se está refiriendo a un "subconjunto" o de lo contrario, omita la perspectiva de la igualdad, por ejemplo,"$A\subset B$$A \neq B$"). Que es, a menos que Rudin se afirma lo contrario, asumen $A\subset B$ $A\subseteq B$ cuando la lectura del texto.

Answer 3

Si $X$ es un espacio métrico y $K$ es un subconjunto, entonces creo que Rudin (en su libro Principios) define a $K$ a ser compacto si para cada colección de abrir conjuntos de $\{U_i:i\in I\}$ $X$ con la propiedad de que $K\subseteq\bigcup_iU_i$, hay un número finito de $i_1,\ldots,i_n\in I$$K\subseteq U_{i_1}\cup\cdots\cup U_{i_n}$. Es decir, la definición implica cubiertas por los conjuntos abiertos en $X$. Compacto de subconjuntos en la métrica de los espacios cerrados, y si el espacio métrico está conectado, como $\mathbf{R}^n$, no-vacío, adecuada conjuntos cerrados no son abiertos, por lo que, debido a una arbitraria de la unión de bloques abiertos es abierto, si $X$ está conectado y $K$ es no-vacío, propio subconjunto cerrado, usted nunca tendrá $K=\bigcup_iU_i$ $U_i$ abierta en $X$.

El aspecto de esta definición que no me gusta es que hace parecer que la compacidad es una relación de propiedad, es decir, que depende de alguna manera en el espacio ambiente $X$. Este no es el caso. Mediante la restricción de la métrica en la $X$ a $K$, $K$ se convierte en un espacio métrico en su propio derecho, y uno puede comprobar que un subconjunto $A$ $K$ es abierto en la topología métrica de $K$ si y sólo si $A=K\cap U$ para algunos subconjunto $U$$X$. Con esto en mente, usted puede verificar que $K$ es compacto en Rudin el sentido dado por encima de si, y sólo si para cada una de las colecciones $\{V_j:j\in J\}$ de conjuntos abiertos en $K$ con la propiedad de que $K=\bigcup_jV_j$ (nota de la igualdad), hay un número finito de $j_1,\ldots,j_n\in J$$K=V_{j_1}\cup\cdots\cup V_{j_n}$.

Esto se traslada a los espacios topológicos arbitrarios sin cambio (acabo de reescribirse en términos de la métrica de los espacios ya que creo que es la generalidad de Rudin del libro). El punto es que la compacidad es una propiedad intrínseca de los espacios topológicos, y no es de ninguna manera en relación a algunas de las grandes espacio ambiente.