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Question

Tengo que encontrar %#% $ #%

He intentado hacerlo por sustitución $$\int_0^{2\pi} \frac{1}{5-3\cos(x)} \,\,dx$

Entonces tenemos que $t = \tan(\frac{x}{2})$ $ pero luego también los límites de integración están cambiando así que tenemos %#% $ de #% me di cuenta que no es correcto porque no está definido el $$\cos(x) = \frac{1-t^2}{1+t^2} \quad dx = \frac{2\,dt}{1+t^2}$ y $$\int\limits_{t(0)}^{t(2\pi)} \frac{1}{5 - \frac{1-t^2}{1+t^2}} \cdot \frac{2dt}{1+t^2} = \int\limits_0^0 \frac{1}{5 - \frac{1-t^2}{1+t^2}} \cdot \frac{2\,dt}{1+t^2} = 0$ y $\tan(\frac{\pi}{2})$. ¿Cómo puedo "reparar" y hacer las cosas bien?

Answer 1

Puesto que la función de que integrar es periódica puede cambiar los límites y tomar la misma integral de $-\pi$ $\pi$. Después de la sustitución terminará con un integral de - infinito a + infinito. Si quiere atenerse a los límites originales tienes que romper la integral en dos partes.

Answer 2

Tenemos % $ $$\dfrac1{5-3\cos(x)} = \dfrac15 \cdot \dfrac1{1-\dfrac{3\cos(x)}5} = \dfrac15 \sum_{k=0}^{\infty} \left(\dfrac35\right)^k \cos^k(x)$por lo tanto, la integral se convierte en $$I = \underbrace{\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac15 \cdot \left(\dfrac35\right)^k \int_0^{2\pi} \cos^k(x)dx = \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac15 \cdot \left(\dfrac35\right)^{2k} \int_0^{2\pi} \cos^{2k}(x)dx}_{\text{Integral of odd powers of $\cos$ over $[0,2\pi]$ vanish}}$$ más de aquí, tenemos que el % $ $$\int_0^{2\pi} \cos^{2k}(t) = 4\int_0^{\pi/2} \cos^{2k}(t) = \dfrac{\pi}{2^{2k-1}} \dbinom{2k}k$ , tenemos $$\sum_{k=0}^{\infty} \dbinom{2k}k x^k = \dfrac1{\sqrt{1-4x}}$ $ por lo tanto, obtenemos $$I = \dfrac{2\pi}5 \sum_{k=0}^{\infty} \dbinom{2k}k \left(\dfrac3{10}\right)^{2k} = \dfrac{2\pi}5 \cdot \dfrac1{\sqrt{1-4 \cdot 9/100}} = \dfrac{2\pi}5 \cdot \dfrac54 = \dfrac{\pi}2$ $

Answer 3

Sugerencia:
Sustituir u=tan(x/2). Entonces transformar el integrando utilizando sinx = 2u/(u^2+1), cosx = (1-u^2)/(u^2+1)

Answer 4

Esta propiedad le ayudará a simplificar: $ \int_0^{2a}f (x) \,dx = \int_0^{a}f (x) \,dx+\int_0^ {a} f (2a-x) \,dx $$

Usar con $a=\pi$.

(Esta es la 14 propiedad en esta lista)

Answer 5

Como va $x$ $0$ $\pi$, $t$ va de $0$ $+\infty$ $x$ va de $\pi$ $2\pi$, $t$ va de $-\infty$ $0$. Así $t$ ir de $0$ $0$ si usted lo mira de esa manera. Pero hay $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\cdots\cdots\,dt$.

Se trata de una instancia en la que se debe pensar en apenas un solo $\infty$ en ambos extremos de la línea, haciendo la línea topológicamente un círculo. Como punto de $(\cos x,\sin x)$ va una vez alrededor del círculo en el plano, la variable $t$ va una vez alrededor del círculo que es $\mathbb R\cup\{\infty\}$.