Una función analítica verdadera que toma cada valor en $\mathbb{R}$ tres veces

Question

Me inspiré en esta pregunta: es muy fácil demostrar que para cualquier número impar $2m+1$ existe una función de $f\in C^{\infty}(\mathbb{R})$ tal que $$\left|\,f^{-1}(y)\right|=2m+1\tag{1}$$ for any $y\in\mathbb{R}$. Mi (doble) pregunta ahora es:

1) Es posible que $(1)$ es para una real-analítica de la función ?

2) Es posible que $(1)$ mantiene durante toda una función real ?

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Estoy bastante seguro de que la respuesta a la segunda cuestión es negativo. Si tomamos $x_M$ como un punto de máximo local ad $x_m$ como un punto de mínimo local, debe ser $z_M,z_m\in\mathbb{R}$ con las propiedades que $f(z_M)=f(x_M),f(z_m)=f(x_m)$ ni $z_m$ o $z_M$ son puntos estacionarios. Si podemos demostrar que $f^{(k)}(z_m)=f^{(k)}(z_M)$ cualquier $k\geq 1$,$g(z)=f'(z+z_m)-f'(z+z_M)\equiv 0$, lo $f'$ $(z_M-z_m)$- función periódica. Por la traducción, podemos asumir: $$z_m=-1,\quad z_M=1,\quad f(z_m)=-1,\quad f(z_M)=1,$$ y tienen un $2$-función periódica con la propiedad de que $f(\xi)\in\{-1,1\}$ cualquier $\xi\in[-1,1]$ tal que $f'(\xi)=0$. Por lo $f$ debe ser $(T_{2m+1}\circ\varphi)(x)$ $T$ ser un polinomio de Chebyshev y $\varphi$ ser un diffeomorphism de $[-1,1]$. Pero para tal función $f''(1)=-f''(1)\neq 0$.

Sin embargo, hay también muchos "tal vez" y "debería" en este argumento, y sobre todo, que no encaja el real analítica caso.

Answer 1

Aquí me dio un ejemplo para $2m+1=3$, igual que en el de Arthur comentario anterior. La generalización es sencillo:

No es una función de la forma$f(x) = ax+\cos x$$a>0$.

Buscamos $a$ de tal manera que cada valor máximo coincide con el $(m+1)$th mínimo a la derecha; en las fotos de abajo $m=1$$m=2$. Desde $f'(x) = a-\sin x$, los máximos son $\sin^{-1}a+2\pi n$ y los mínimos se $\pi-\sin^{-1}a+2\pi n$. Esto conduce a la ecuación $$a\,((2m+1)\pi -2\sin^{-1}a) =2$$ which cannot be solved explicitly; however it is easy to see that a solution exists. Indeed, the left side is a continuous function of $un$ which is equal to $0$ at $un=0$, and equal to $(2m-1)\pi>2$ at $=1$. Therefore, there is $\en (0,1)$ para que la igualdad se mantiene.

Parcela para $m=1$

Parcela para $m=2$