Integrar

Question

Integrar %#% $ #%

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Dejó $$\begin{align}u^2=\frac{\sin(x-a)}{\sin(x+a)}\implies 2udu&=\frac{\sin(x+a)\cos(x-a)-\sin(x-a)\cos(x+a)}{\sin^2(x+a)}dx\\2udu&=\frac{\sin((x+a)-(x-a))}{\sin^2(x+a)}dx\\ 2udu&=\frac{\sin(2a)}{\sin^2(x+a)}dx\end {Alinee el} $$ ahora: $$\begin{align}u^2&=\frac{\sin(x+a-2a)}{\sin(x+a)} \\u^2&=\frac{\sin(x+a)\cos(2a)-\cos(x+a)\sin(2a)}{\sin(x+a)} \\u^2&=\cos(2a)-\sin(2a)\cot(x+a) \\\cot(x+a)&=(\cos(2a)-u^2)\csc(2a) \\\csc^2(x+a)=\cot^2(x+a)+1&=(\cos(2a)-u^2)^2\csc^2(2a)+1 \\\csc^2(x+a)&=\frac{\cos^2(2a)+u^4-2u^2\cos2(2a)+\sin^2(2a)}{\csc^2(2a)} \\\sin^2(x+a)&=\frac{\sin^2(2a)}{u^4-2u^2\cos(2a)+1}\end {Alinee el} $$ ahora: $$\begin{align} I&=\int u.\frac{2udu\sin^2(x+a)}{\sin(2a)}\\ I&=\int\frac2{\sin(2a)}.u^2.\frac{\sin^2(2a)}{u^4-2u^2\cos(2a)+1}du \\I&=2\sin(2a)\int\frac{u^2}{u^4-2ku^2+1}du\quad k:=\cos 2a \\\frac If&=\int\frac{2+u^{-2}-u^{-2}}{u^2-2k+u^{-2}}du=\int\frac{1+u^{-2}}{u^2-2k+u^{-2}}du+\int\frac{1-u^{-2}}{u^2-2k+u^{-2}}du\quad \\f:=\sin(2a) \\&=\int\frac{d(u-u^{-1})}{(u-u^{-1})^2+2-2k}+\int\frac{d(u+u^{-1})}{(u+u^{-1})^2-2-2k}\end {Alinee el} $$

Ahora: $$I=\int\sqrt\frac{\sin(x-a)}{\sin(x+a)}dx$

Entonces: $2-2k=2(1-\cos 2a)=4\sin^24a,2+2k=2(1+\cos 2a)=4\cos^24a$ $ o: %#% $ #% pero el libro de texto es la respuesta:

$$I=\sin2a\left(\frac1{2\sin4a}\arctan\left(\frac{u-u^{-1}}{2\sin(4a)}\right)+\frac1{4\cos4a}\ln\left|\frac{u+u^{-1}-2\cos 4a}{u+u^{-1}+2\cos 4a}\right|\right)+C$$

Answer 1

Aquí es una alternativa. \begin{align}\sqrt{\frac{\sin(x-a)}{\sin(x+a)}}&=\frac{\sin(x-a)}{\sqrt{\sin(x-a)\sin(x+a)}}=\frac{\sin x\cos a-\cos x\sin a}{\sqrt{\frac12(\cos 2a-\cos 2x)}}\\&=\frac{\cos a\sin x}{\sqrt{\cos^2a-\cos^2x}}-\frac{\sin a\cos x}{\sqrt{\sin^2 x-\sin^2 a}}\end{align} ahora para la primera de ellas, sustituto $\cos x=\cos t\cos a$. $$\int \frac{\cos a\sin x}{\sqrt{\cos^2a-\cos^2x}}dx=\int\cos a\,dt=t\cos a=\cos a\arccos\left(\frac{\cos x}{\cos a}\right)+C_1$ $ El otro sustituto $\sin x=\cosh s\sin a$. \begin{align}\int\frac{\sin a\cos x}{\sqrt{\sin^2 x-\sin^2 a}}dx&=\int\sin a\,ds=s\sin a=\sin a\cosh^{-1}\left(\frac{\sin x}{\sin a}\right)\\&=\sin a\ln\left(\frac{\sin x}{\sin a}+\sqrt{\frac{\sin^2x}{\sin^2a}-1}\right)+C_2\\&=\sin a\ln(\sin x+\sqrt{\sin^2x-\sin^2a})+C_3\end{align} por lo tanto, $$\int\sqrt{\frac{\sin(x-a)}{\sin(x+a)}}dx=\cos a\arccos\left(\frac{\cos x}{\cos a}\right)-\sin a\ln(\sin x+\sqrt{\sin^2 x-\sin^2 a})+C$ $

Answer 2

Escriba $$I_a=\int\sqrt{\frac{\sin(x-a)}{\sin(x+a)}}\mathrm dx$ $ y calcular $I_+=I_a+I_{-a}$ y $I_-=I_a-I_{-a}$. Tenemos fórmulas trigonométricas de uso de $ de $$I_\pm=I_a\pm I_{-a}=\int\frac{\sin(x-a)\pm\sin(x+a)}{\sqrt{\sin(x+a)\sin(x-a)}}\mathrm dx.$de %, se obtiene $$I_ += 2\cos a\int\frac {\sin x} {\sqrt {\cos^2a-\cos^2x}} \mathrm dx\\ I_ = 2\sin a\int\frac {\cos x} {\sqrt {\sin^2x-\sin^2a}} \mathrm dx. $$ ahora sólo aplicar los adecuados cambios de variables $$I_ += 2\cos un \arccos\left (\frac {\cos x} {\cos un} \right) c_ + \\ I_-=-2\sin un \ln\left (\sin x + \sqrt {\sin^2x-\sin^2a} \right) c_-$$ y el resultado es $I_a=\frac12\left(I_++I_-\right)$.

Answer 3

Demasiado largo para un comentario, quizás ayudaría el siguiente enfoque.

Expresar la expresión interna de la raíz cuadrada de la siguiente manera\begin{align} \frac{\sin(x-a)}{\sin(x+a)}&=\frac{\sin(x)\cos(a)-\cos(x)\sin(a)}{\sin(x)\cos(a)+\cos(x)\sin(a)}\qquad\Rightarrow\qquad\text{divide by}\,\cos(x)\cos(a)\\ &=\frac{\tan(x)-\tan(a)}{\tan(x)+\tan(a)} \end {Alinee el} que $t^2=\tan(x)+\tan(a)$, entonces \begin{align} \int\sqrt{\frac{\sin(x-a)}{\sin(x+a)}}\,dx&=\int\sqrt{\frac{\tan(x)-\tan(a)}{\tan(x)+\tan(a)}}\,dx\\ &=2\int\frac{\sqrt{t^2-2\tan(a)}}{1+(t^2-\tan(a))^2}\,dt\\ &=2\int\frac{\sqrt{1-2\frac{\tan(a)}{t^2}}}{\frac{1}{t^4}+\left(1-\frac{\tan(a)}{t^2}\right)^2}\,\frac{dt}{t^3}\qquad\Rightarrow\qquad\text{let}\,u=\frac{\tan(a)}{t^2}\\ &=-\int\frac{\sqrt{1-2u}}{\frac{u^2}{\tan^2(a)}+\left(1-u\right)^2}\,\frac{du}{\tan(a)}\\ &=-\int\frac{\tan(a)\sqrt{1-2u}}{u^2\sec^2(a)-2u\tan^2(a)+\tan^2(a)}\,du\\ &=-\frac{1}{\tan(a)}\int\frac{\sqrt{1-2u}}{u^2\csc^2(a)-2u+1}\,du\\ \end {Alinee el}

Answer 4

Otras respuestas ofrecen enfoques alternativos para la integración de formar el principio. Si usted está buscando para encontrar donde sus pasos se alejaban, se inicia cuando se utiliza: $$2(1-\cos(2a))=4\sin^2(4a)$$ but the correct identity is: $$2(1-\cos(2a))=4\sin^2(a)$$ Just check both sides with $a=\pi/4$ and you'll believe it. And similarly for the next identity that you use: $2(1+\cos(2a))=4\cos^2(4a)$ should be $2(1+\cos(2a))=4\cos^2(a)$.

A partir de allí, se habría $$I=\sin2a\left(\frac1{2\sin a}\arctan\left(\frac{u-u^{-1}}{2\sin(a)}\right)+\frac1{4\cos a}\ln\left|\frac{u+u^{-1}-2\cos a}{u+u^{-1}+2\cos a}\right|\right)+C$$

lo que da $$I=\cos(a)\arctan\left(\frac{u-u^{-1}}{2\sin(a)}\right)+\frac1{2}\sin(a)\ln\left|\frac{u+u^{-1}-2\cos a}{u+u^{-1}+2\cos a}\right|+C$$

Y entonces empezamos de nuevo-la sustitución. Llegamos a un punto donde ayuda a utilizar $\arctan\left(\frac{A}{B}\right)=\arcsin\left(\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\right)=\frac{\pi}{2}-\arccos\left(\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\right)$ y el constante puede ser absorbido en el $C$. Tenga en cuenta que las expresiones en $a$ son constantes para los fines de $C$. Entonces llegamos a un punto donde por la adición de una cierta expresión logarítmica en $a$ (de nuevo, absorbido en $C$) podemos simplificar la apariencia de la logarítmica plazo.

$$ \begin{align} I&=\cos(a)\arctan\left(\frac{\sqrt\frac{\sin(x-a)}{\sin(x+a)}-\sqrt\frac{\sin(x+a)}{\sin(x-a)}}{2\sin(a)}\right)\\ &\phantom{=}{}+\frac1{2}\sin(a)\ln\left|\frac{\sqrt\frac{\sin(x-a)}{\sin(x+a)}+\sqrt\frac{\sin(x+a)}{\sin(x-a)}-2\cos a}{\sqrt\frac{\sin(x-a)}{\sin(x+a)}+\sqrt\frac{\sin(x+a)}{\sin(x-a)}+2\cos a}\right|+C\\ &=\cos(a)\arctan\left(\frac{\sin(x-a)-\sin(x+a)}{2\sin(a)\sqrt{\sin(x-a)\sin(x+a)}}\right)\\ &\phantom{=}{}+\frac1{2}\sin(a)\ln\left|\frac{\sin(x-a)+\sin(x+a)-2\cos(a)\sqrt{\sin(x-a)\sin(x+a)}}{\sin(x-a)+\sin(x+a)+2\cos(a)\sqrt{\sin(x-a)\sin(x+a)}}\right|+C\\ &=\cos(a)\arctan\left(\frac{-\cos(x)}{\sqrt{\sin(x-a)\sin(x+a)}}\right)\\ &\phantom{=}{}+\frac1{2}\sin(a)\ln\left|\frac{\sin(x)-\sqrt{\sin(x-a)\sin(x+a)}}{\sin(x)+\sqrt{\sin(x-a)\sin(x+a)}}\right|+C\\ &=-\cos(a)\arcsin\left(\frac{\cos(x)}{\sqrt{\cos^2(x)+\sin(x-a)\sin(x+a)}}\right)\\ &\phantom{=}{}+\frac1{2}\sin(a)\ln\left|\frac{\sin(x)-\sqrt{\sin(x-a)\sin(x+a)}}{\sin(x)+\sqrt{\sin(x-a)\sin(x+a)}}\right|+C\\ &=-\cos(a)\left(\frac{\pi}{2}-\arccos\left(\frac{\cos(x)}{\sqrt{\cos^2(x)+\frac12\cos(2a)-\frac12\cos(2x)}}\right)\right)\\ &\phantom{=}{}+\frac1{2}\sin(a)\ln\left|\frac{\sin(x)-\sqrt{\sin(x-a)\sin(x+a)}}{\sin(x)+\sqrt{\sin(x-a)\sin(x+a)}}\right|+C\\ &=\cos(a)\arccos\left(\frac{\cos(x)}{\cos(a)}\right)+\frac1{2}\sin(a)\ln\left|\frac{\sin(x)-\sqrt{\sin(x-a)\sin(x+a)}}{\sin(x)+\sqrt{\sin(x-a)\sin(x+a)}}\right|+C_1 \end{align}$$

Tenga en cuenta que $-\cos(a)\frac{\pi}{2}$ ha absorbido en $C$.

Queda por mostrar $$\frac1{2}\ln\left|\frac{\sin(x)-\sqrt{\sin(x-a)\sin(x+a)}}{\sin(x)+\sqrt{\sin(x-a)\sin(x+a)}}\right|=-\ln\left|\sin(x)+\sqrt{\sin^2(x)-\sin^2(a)}\right|+C_2(a)$$ Si usted agregue $\ln\left|\sin(x)+\sqrt{\sin^2(x)-\sin^2(a)}\right|$ a la izquierda, usted tiene $$ \begin{align} &\ln\left|\sqrt{\sin(x)-\sqrt{\sin(x-a)\sin(x+a)}}\sqrt{\sin(x)+\sqrt{\sin(x-a)\sin(x+a)}}\right|\\ &=\ln\left|\sqrt{\sin^2(x)-\sin(x-a)\sin(x+a)}\right|\\ &=\ln\left|\sqrt{\sin^2(x)-\frac12\cos(2a)+\frac12\cos(2x)}\right|\\ &=\ln\left|\sqrt{\sin^2(a)}\right|=C_2(a)\\ \end{align}$$

el cual se establece que la última relación.

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También esta escritura tiene un error tipográfico en una primera línea, con $$\csc^2(x+a)=\frac{\cos^2(2a)+u^4-2u^2\cos2(2a)+\sin^2(2a)}{\csc^2(2a)}$$ but you meant $$\csc^2(x+a)=\frac{\cos^2(2a)+u^4-2u^2\cos(2a)+\sin^2(2a)}{\sin^2(2a)}$$ En cualquier caso, estas cosas han sido corregida en la siguiente línea.

Answer 5

Desde $\sin(x-a)\sin(x+a)=\cos^2(a)-\cos^2(x)=\sin^2(x)-\sin^2(a)$, si dejamos que u=\frac{\cos(x)}{\cos(a) $$} \quad\text {y} \quad v=\frac{\sin(x)}{\sin(a)} \tag {1} $ y $$\begin{align} &\int\sqrt{\frac{\sin(x-a)}{\sin(x+a)}}\,\mathrm{d}x\\ &=\int\frac{\sin(x-a)}{\sqrt{\sin(x+a)\sin(x-a)}}\,\mathrm{d}x\\ &=\int\left[\frac{\sin(x)\cos(a)}{\sqrt{\cos^2(a)-\cos^2(x)}}-\frac{\cos(x)\sin(a)}{\sqrt{\sin^2(x)-\sin^2(a)}}\right]\,\mathrm{d}x\\ &=-\cos(a)\int\frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{1-u^2}}-\sin(a)\int\frac{\mathrm{d}v}{\sqrt{v^2-1}}\\[6pt] &=\cos(a)\cos^{-1}\left(\frac{\cos(x)}{\cos(a)}\right)-\sin(a)\cosh^{-1}\left(\frac{\sin(x)}{\sin(a)}\right)+C\tag{2} \end {alinee el} $$ $\cosh^{-1}(x)=\log\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)$, $(2)$ es igual a $$ \cos(a)\cos^{-1}\left(\frac{\cos(x)}{\cos(a)}\right)-\sin(a)\log\left(\sin(x)+\sqrt{\sin^2(x)-\sin^2(a)} \right) + C'\tag {3} $$