Oí un bonito problema, presumiblemente de una vieja qual, que pensé que compartir.
Problema: Sea al que anillo (en el plano complejo) $A=\{z: r_1 \leq |z|\leq r_2\}.$ prueba que $f(z) = 1/z$ no se puede aproximar uniformemente por polinomios en $A$.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Si $f_n$ es una secuencia de funciones holomorphic convergiendo uniformemente a una función de foliaciones $f$, entonces la integrales de contorno $\oint f_n$ $f_n$ alrededor de un contorno circular convergen al contorno % integral $\oint f$. $f = \frac{1}{z}$ La última integral es distinto de cero, pero es cero para cualquier secuencia de polinomios $f_n$.
lnediger
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Aquí es otro simple argumento de que sólo requiere que el principio del máximo. Supongamos que $1/z$ se puede aproximar uniformemente en $A$ por polinomios. Deje $m:=\operatorname{min} \{|1/z| : z \in A\}>0$. Luego, por supuesto, existe alguna polinomio $P$ tal que $$|1/z - P(z)|<m \qquad (z \in A).$$ Por lo tanto, $$|1-zP(z)|<m|z|\leq1 \qquad (z \in A).$$
Por el principio del máximo, $$|1-zP(z)| < 1$$ para cada $z$ en el disco cuyo límite es el círculo exterior de $A$. Pero con $z=0$ obtenemos una contradicción.
Esencialmente la misma prueba muestra que para cada conjunto compacto $K$ en el avión, cuyo complemento contiene más de un componente, existe alguna función $f$ holomorphic en un barrio de $K$ que no puede ser approximed de manera uniforme en $K$ por polinomios.
