¿Cuál es el sentido geométrico de una matriz descompuesta en sus simétrica y el sesgo de simetría de las piezas? Por ejemplo, un sesgo de simetría de la matriz puede ser interpretada como una rotación infinitesimal. Como otro ejemplo, la descomposición polar de una matriz A=HASTA=QU por una matriz unitaria U y simétrica positiva definida matrices P y Q significa que podemos interpretar de una matriz como un estiramiento (la positiva definida la matriz), seguida de una rotación (unitario de la matriz) o viceversa.
Básicamente, la descomposición de una matriz en su simétrica e inclinación simétrica partes $A=(1/2)(A+A^T)+(1/2)(A-A^T)$ que me está causando problemas, porque no sé cómo interpretar geométricamente la parte simétrica (si es positiva definida sería un tramo), ni la suma (si se trataba de un producto, a continuación, una acción que se sigue de la otra.)
Edición 1
La respuesta de @user_of_math me ayudó a entender el resto de esta.
Supongamos que tenemos una matriz de $B$ eso es simétrica. Entonces, sabemos que tiene una descomposición espectral $B=VDV^T$. Lo que dice es que la acción de la $B$ en un vector $x$ se produce en tres pasos
- Determinamos cuánto nos va a proyectar $x$ sobre las columnas de $V$, $V^T x$
- Nosotros escala de esta proyección por los autovalores de $A$, $D V^T x$
- A continuación, ponemos todo de nuevo en el eje de coordenadas, $V D V^T x$
En otras palabras, un operador simétrico escalas del espacio a lo largo de los ejes ortogonales definido por $V$. Al $B$ es positiva definida, los elementos de $D$ son positivos y se trata de un tramo. Al $B$ es de carácter indefinido o negativo definitiva, podemos potencialmente flip o el colapso de un eje. En cualquier caso, proporciona una explicación de lo geométrico, el significado de un operador simétrico.
Ahora, vamos a $C$ ser un sesgo de simetría del operador. A continuación, $exp(C)$ es ortonormales de la matriz, que corresponde a una rotación.
En este punto, tenemos una idea de lo que sucede con un operador simétrico y un sesgo de simetría operador, pero hay una desconexión debido a que nuestra explicación supone que la inclinación simétrica operador corresponde a algo infinitesimal y de la simetría del operador no. Como ejemplo, considere la posibilidad de un cambio infinitesimal de un vector x por un operador simétrico B $$ \lim\limits_{\alpha\rightarrow 0} (I+\alpha B)x $$ Más específicamente, queremos hacer un número infinito de estas transformaciones, por lo que tenemos $$ \lim\limits_{n\rightarrow\infty} \left (\frac{1}{n} B\right)^n x = exp(B)x $$ Ahora, desde la $B$ es simétrica, tenemos la descomposición espectral, $B=VDV^T$. Por lo tanto, $$ exp(B)x=exp(VDV^T)x=Vexp(D)V^Tx, $$ que es muy interesante, porque este dice que $exp(B)$ es positiva definida operador. En otras palabras, y un infinito número de turnos por un operador simétrico finalmente se obtiene un solo tramo por una positiva definida operador.
En cualquier caso, veamos la situación general ahora. Deje $B=(A+A^T)/2$ ser la parte simétrica de $A$ $B=(A-A^T)/2$ ser el sesgo de simetría parte. A continuación, considere la posibilidad de un infinito número de turnos por $A$, $$ \lim\limits_{n\rightarrow\infty} \left (\frac{1}{n}\right)^n = exp(A) = exp(B+C) = \lim\limits_{n\rightarrow \infty}(exp(B/n)exp(C/n))^n $$ donde la última igualdad viene de la Mentira fórmula del producto. Esto nos dice que el significado de $exp(A)$ es un infinito, alternando la aplicación de infinitesimalmente pequeños tramos, que se define por $exp((A+A^T)/2)$, y las rotaciones, definido por $exp((A-A^T)/2)$. En otras palabras, el sentido geométrico de exp(A), cuando se $A$ se descompone en sus simétrica y el sesgo de simetría de componentes, es un alternando la aplicación de estiramientos y rotaciones definido por estos simétrica y el sesgo de simetría de componentes, respectivamente.
