Triples pitagóricos : Demostrar que exactamente uno de $x$ , $y$ y $z$ es divisible por $5$

Question

Estaba haciendo algunos problemas básicos de teoría de números de Rosen y me encontré con este problema:

Demuestre que si $(x, y,z)$ es un triple pitagórico primitivo, entonces exactamente uno de $x$ , $y$ y $z$ es divisible por $5$ .

Solución de libros:

• Sabemos que $5$ divide como máximo una de $x,y$ y $z$
• Si $5$ no divide $x$ o $y$ entonces $x^{2}\equiv\pm 1\pmod5$ y $y^{2}\equiv\pm 1\pmod5$
• Entonces $z^{2}\equiv 0,2\ \text{or}\ -2\pmod 5$
• Pero $\pm 2$ no es un residuo cuadrático módulo $5$
• Así que $z^{2}\equiv 0\pmod 5$ de donde $5$ $\mid z$

Mi problema:

¿Puede alguien ayudarme a entender el primer punto de la solución? Soy todo pulgares.

Answer 1

Pista: ¿Qué significa "primitivo"?

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Así que la afirmación que estamos tratando de probar aquí es si $(x,y,z)$ es un triple pitagoriano primitivo, es decir $hcf(x,y,z)=1$ y $x^2+y^2=z^2$ entonces $5$ divide como máximo a uno de ellos.

Si 5 divide a los tres, entonces 5 divide al máximo común divisor de $x,y$ y $z$ y esto es una contradicción.

Supongamos que 5 divide a dos de ellos. Entonces por la congruencia $x^2+y^2\equiv z^2$ (mod $5$ ) está claro que la tercera debe ser divisible por $5$ lo que también es una contradicción. (por ejemplo si asumimos $x$ y $z$ sea divisible por $5$ entonces obtenemos $y^2 \equiv 0$ (mod $5$ )