Comportamiento asintótico de la integral de la media cuadrática de las coordenadas en el hipercubo

Question

Tengo que calcular el límite de $\lim_{n\to +\infty}I_n$, donde: $$\qquad I_n=\int_{[0,1]^n}\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2}\,d\mu.$$ Creo que su valor es sólo $\frac{1}{\sqrt{3}}$, ya que el valor de la media de $x_i^2$ por encima de la unidad hipercubo es $\frac{1}{3}$. Experimentos numéricos de acuerdo con esta conjetura.

Por otra parte, desde la raíz cuadrada es una función cóncava, la desigualdad de Jensen da $$ I_n \leq \frac{1}{\sqrt{3}}$$ y $\{I_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ parece ser una monótona secuencia, pero con un extra de comprensión es necesaria para demostrar la conjetura, tal vez una especie de conversar de la desigualdad de Jensen o una aplicación inteligente de la del teorema de Fubini.

Answer 1

Hay una manera engañosa para calcular un límite: el uso Fuerte de la Ley de los Grandes Números

Deje $X_1, X_2, . . . , X_n$ ser independiente de las variables aleatorias, cada una tiene una distribución uniforme sobre $[0,1]$. Usted tiene:

$$\qquad I_n=\int_{[0,1]^n}\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2}\,d\mu=E\left[\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}}X_{i}^2\right]$$

Desde el Fuerte de la Ley de los Grandes Números:

$$\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^2} \to \sqrt{E[X_1^{2}]}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Ahora ya $0\leq \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2}\leq 1$ a partir del teorema de convergencia Dominada se tiene que el límite es de $\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Answer 2

La evaluación de límite es esencialmente el mismo que aquí.

Tenemos, $\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}\int_{0}^{1}\cdots\int_{0}^{1} \left(\dfrac{x_{1}^2+x_{2}^2+\cdots+x_{n}^2}{n}\right)dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{n}=\dfrac{1}{3}$

Podemos mostrar a $\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}\int_{0}^{1}\cdots\int_{0}^{1} \left(\dfrac{x_{1}^2+x_{2}^2+\cdots+x_{n}^2}{n}\right)^k \,dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{n}=\dfrac{1}{3^k}$, de la misma manera como los vinculados respuesta.

Por lo tanto, $\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}\int_{0}^{1}\cdots\int_{0}^{1} \left(\dfrac{x_{1}^2+x_{2}^2+\cdots+x_{n}^2}{n}\right)^{1/2}dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ sigue de Weierstrass-Aproximación de la función $f(x) = \sqrt{x}$, $x \in [0,1]$.

No soy consciente de la Asymptotics de estas múltiples integral de los límites.

Edit: Set $E_n(\delta) := \left\{ (x_1,x_2,\cdots,x_n) \in [0,1]^n : \left| \dfrac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{n} - \dfrac{1}{3} \right| > \delta \right\}$

A continuación, $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}-I_n \le \int_{[0,1]^n} \left|\sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^n x_{i}^2}{n}} - \frac{1}{\sqrt{3}} \right|\,dx < \sqrt{3}\int_{[0,1]^n} \left|\frac{\sum\limits_{i=1}^n x_{i}^2}{n} - \frac{1}{3} \right|\,dx $

$$ < \sqrt{3}\left(\int_{E_n(\delta)}\,dx + \int_{[0,1]^n\setminus E_n(\delta)}\delta\,dx \right)$$

$$ < \sqrt{3}\delta + \sqrt{3}\int_{E_n(\delta)}\,dx$$

Dado que, por Chebychev de la Desigualdad: $\displaystyle \int_{E_n(\delta)}\,dx \le \frac{1}{n^2\delta^2} \int_{[0,1]^n}\left(\sum\limits_{i=1}^n \left(x_i^2-\frac{1}{3}\right)\right)^2\,dx = \frac{1}{n^2\delta^2} \int_{[0,1]^n}\sum\limits_{i=1}^n \left(x_i^2-\frac{1}{3}\right)^2\,dx = O(1/n)$

$\implies \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} - I_n < \sqrt{3}\delta + O(1/n) $

Answer 3

http://en.wikipedia.org/wiki/Hoeffding%27s_inequality proporciona una forma de acotar la diferencia entre el $\frac{1}{\sqrt{3}}$ y la integral dada. Si tomamos $X_1,\ldots,X_n$ como independientes las variables aleatorias con una distribución uniforme sobre$[0,1]$, $X_1^2,\ldots,X_n^2$ están delimitadas independientes variables aleatorias con función de densidad $$ f(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot\mathbb{1}_{(0,1]}$$ y el valor medio $\frac{1}{3}$. Si establecemos $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}X_j^2$, el Hoeffding la desigualdad, se obtiene: $$ \mathbb{P}\left[\left|\bar{X}-\mathbb{E}[\bar{X}]\right|\geq t\right]\leq 2\exp\left(-2t^2 n\right),$$ por lo tanto, por la elección de $t=\sqrt{\frac{\log n}{4n}}$ tenemos: $$ \mu\left(\left\{\bar{x}\in[0,1]^n : \left|-\frac{1}{3}+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i^2\right|\geq\sqrt{\frac{\log n}{4n}}\right\}\right)\leq\frac{2}{\sqrt{n}},$$ así: $$\int_{[0,1]^n}\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i^2}d\mu\geq\left(1-\frac{2}{\sqrt{n}}\right)\sqrt{\frac{1}{3}-\sqrt{\frac{\log n}{4n}}}$$ y $$\int_{[0,1]^n}\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i^2}d\mu\geq\frac{1}{\sqrt{3}}\left(1-\sqrt{\frac{\log n}{n}}\right)$$ para cualquier $n\geq e^{64}.$