Una característica de la serie $\sum_{i=1}^{\infty}\frac{(1-x)x^i}{1+x^i}$

Question

Creo que esto es una pregunta difícil: $$f(x)=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{(1-x)x^i}{1+x^i}~~~\text{for}~~~x\in(0,1)$ $

Probar: $$\lim_{x\to 1^-}f(x)=\ln(2)$ $

Encontrar el valor máximo de $f(x)$.

Answer 1

Empezamos por la expansión de $\frac{1}{1+x^i} = \frac{1-x^i}{1-x^{2i}}$ en una serie geométrica para obtener el doble de la suma de la

$$f(x)=\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{n=0}^\infty (1-x)(1-x^i)x^{2n i}$$

Desde los sumandos anteriores son no negativos podemos, por Tonelli del teorema, el intercambio de la orden de la suma para obtener

$$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}(1-x)^2}{(1-x^{2n+1})(1-x^{2n+2})}$$

La función $$f_n(x) = \frac{x^{2n+1}(1-x)^2}{(1-x^{2n+1})(1-x^{2n+2})}$$ es monotonely aumento en $[0,1]$ y por lo tanto satisfacer $$f_n(x) \leq \lim_{x\to 1^-} f_n(x) = \frac{1}{(2n+1)(2n+2)}$$ Desde $\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)(2n+2)}$ converge se desprende de Weierstrass M-prueba que la serie $\sum_{n=0}^\infty f_n(x)$ converge uniformemente en $[0,1]$ y por lo tanto

$$\lim_{x\to 1^-} f(x) = \lim_{x\to 1^-}\sum_{n=0}^\infty f_n(x) = \sum_{n=0}^\infty \lim_{x\to 1^-} f_n(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)(2n+2)} = \log(2)$$

Este es también el valor máximo de $f(x)$$[0,1]$. La última igualdad por encima de la siguiente manera de $\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)(2n+2)} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1} = \log(2)$.