Pregunta sobre el núcleo de la restricción de un operador lineal

Question

Estoy estudiando álgebra lineal e intento responder a una pregunta que me he hecho.

Supongamos que $T:V\rightarrow V$ es un operador lineal en un espacio vectorial de dimensión finita $V$ sobre un campo algebraicamente cerrado $K$ .

Sea $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ son los valores propios de $T$ . Sea $$m_T(x)=(x-\lambda_1)^{r_1}\dots(x-\lambda_n)^{r_n}$$ sea el polinomio mínimo de $T$ .

Por el Teorema de Descomposición Primaria:

$$V=\ker(T-\lambda_1 I_V)^{r_1}\oplus\dots\oplus\ker(T-\lambda_nI_V)^{r_n}$$

Sea $V_i=\ker(T-\lambda_i I_V)^{r_i}$ . Entonces $T$ es $V_i$ invariante. Sea $T|V_i=T_i$ Entonces $T_i$ es nilpotente y su polinomio mínimo es $(x-\lambda_i)^{r_i}$ .

Es fácil demostrar que para cada $n\leq r_i$ , $\ker (T_i-\lambda_i I_{V_i})^n=\ker (T-\lambda_iI_V)^n$ . Mi pregunta es: ¿Es también cierto para $n>r_i$ ?

Answer 1

La demostración del teorema de descomposición primaria o un argumento directo muestra que la suma

$$ \ker(T - \lambda_1 I_V)^{k_1} + \dots + \ker(T - \lambda_n I_V)^{k_n} $$

es siempre una suma directa $$ \ker(T - \lambda_1 I_V)^{k_1} \oplus \dots \oplus \ker(T - \lambda_n I_V)^{k_n} $$ para cualquier $k_1, \dots, k_n \geq 0$ y distintos $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ (sólo que la suma no tiene por qué coincidir necesariamente con la totalidad de $V$ ). En otras palabras, los vectores propios generalizados asociados a valores propios distintos son linealmente independientes.

Tenga en cuenta que $T_i$ no es nilpotente pero $T_i - \lambda_i I_{V_i}$ es con $(T_i - \lambda_i I_{V_i})^{r_i} = 0_{V_i}$ por lo que si $n \geq r_i$ entonces $\ker(T_i - \lambda_i I_{V_i})^{n} = V_i = \ker(T - \lambda_i I_V)^{r_i}$ . Así pues, basta con demostrar que $V_i = \ker(T - \lambda_i I_V)^{r_i} = \ker(T - \lambda_i I_V)^n$ para $n \geq r_i$ . Para verlo, veamos $w \in \ker(T - \lambda_i I_V)^n$ y descomponerlo como $v = v_1 + \dots + v_n$ utilizando la descomposición por suma directa garantizada por el teorema de la descomposición primaria. Pero entonces

$$ v - v_i + \sum_{j \neq i} v_j = 0 $$

donde $v - v_i$ y cada $v_j$ son vectores propios generalizados que se asocian a valores propios distintos, por lo que $v = v_i$ y por lo tanto $v \in V_i$ .