Estoy tratando de enseñar a mí mismo algunos análisis (actualmente, estoy estudiando álgebra), y estoy un poco atascado en esta pregunta. Es extraño, porque de la $n$ aparece como un límite de la integración; quiero aplicar algo como LDCT (supongo), pero parece que no se puede hacer directamente.
Me he dado cuenta de que el cambio de las variables de $u=1+\frac{x}{2n}$ ayuda. Con esto, el problema se convierte en
$$
\lim_{n\to\infty}\int_1^{3/2}2nu^ne^{-2n(n-1)}\,du.
$$
Esto al menos se soluciona el problema de la integración de los límites. Vamos a dejar que $f_n(u):=2nu^ne^{-2n(u-1)}$ por razones de brevedad. Creo que se puede demostrar que
$$
\lim_{n\to\infty}f_n(u)=\casos{\infty,\,u=1\\0,\,1<u\leq 3/2}
$$
usando la regla de L'Hospital y el hecho de que $u^n$ intersecta $e^{2n(u-1)}$ donde $u=1$, y por lo que la función exponencial es mayor que $u^n$$n>1$.
Creo que también fue capaz de demostrar que $\{f_n\}$ es, finalmente, la disminución en el $(1,3/2]$, y así Dini del Teorema dice que la secuencia es uniformemente convergente a $0$ $[u_0,3/2]$ cualquier $u_0\in (1,3/2]$. Desde cada una de las $f_n$ es continua en el cerrado y acotado intervalo de $[u_0,3/2]$, cada uno es limitada; en la que la convergencia es uniforme, la secuencia es uniformemente acotada.
Por lo tanto, la Lebesgue Teorema de Convergencia Dominada dice $$ \lim_{n\to\infty}\int_{u_0}^{3/2}2nu^ne^{-2n(n-1)}\,du=\int_{u_0}^{3/2}0\,du=0. $$ Así que parece que estoy casi allí, sólo tengo que ampliar el límite más bajo de todo el camino a $1$. Creo que esto equivale a preguntar si podemos cambiar el orden de los límites en $$\lim_{n\to\infty}\lim_{u_0\1^+}\int_{u_0}^{3/2}2nu^ne^{-2n(n-1)}\,du, $$ y (¡por fin!) esto es donde estoy atascado. Siento que este paso debe ser fácil, y es bastante posible que me estoy perdiendo algo obvio. Que sucede mucho cuando trato de hacer el análisis porque de mi prácticamente inexistente fondo.
