Teoría de la relación entre la masa de un cilindro y el tiempo que tarda en rodar por una pendiente: ¿resistencia del aire?

Question

Realicé un sencillo experimento en el que intenté encontrar la relación entre la masa de un cilindro y el tiempo que tarda (o la velocidad o aceleración media, que puede derivarse fácilmente del tiempo y la distancia).

Hice rodar un cilindro por una rampa fija (en longitud y ángulo), varié la masa del cilindro llenando el recipiente con varios objetos que proporcionaban una distribución uniforme de la masa y medí el tiempo que tardaba en llegar de la parte superior a la inferior de la rampa.

He obtenido un resultado de 10 puntos de datos de 10 repeticiones cada uno (valores que van desde la masa 0,073kg y el tiempo 2,119 hasta 2,278kg y 1,835), que al graficar (el tiempo en el eje y) me muestra una clara tendencia que parece una exponencial natural decreciente o el lado positivo de una curva cuadrada inversa. Las dos funciones siguientes son las que mejor se ajustan a los valores de los datos:

t =0,7298 * e^(-13,14*m) + 1,842 t = 0,001644 * m^(-2) + 1,850

En este caso, no pude averiguar cuál es la relación entre la masa y el tiempo (o la velocidad; la aceleración), y cuál es la teoría de apoyo y las ecuaciones pertinentes.

Ahora bien, la ley de conservación de la energía no explica dicha relación, ya que la masa no afecta a la velocidad del cilindro, es decir GPE = KE(traslacional) + KE(rotacional) mgh = 0,5mv^2 + 0,25mv^2 donde m se anula.

Otro posible contendiente es la fricción de rodadura del cilindro, pero desde mi conocimiento y por lo que he probado, esto tampoco puede explicar la relación entre la masa y el tiempo.

La explicación más plausible, creo, tiene que ver con la resistencia del aire; un objeto de mayor masa experimenta una mayor fuerza gravitatoria, por lo que la resistencia del aire tarda más en equilibrar esta fuerza, y por ello acelera durante más tiempo hasta alcanzar su velocidad terminal (de forma parecida a por qué un elefante cae mucho más rápido que una pluma cuando hay resistencia del aire). Mis conocimientos actuales me dicen que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del objeto. Sin embargo, mi investigación hasta ahora me ha dicho que no hay realmente una ecuación definitiva que vincule las dos variables o que explique la relación entre mis dos variables, ya que hay múltiples factores que contribuyen a la resistencia del aire, por ejemplo, la superficie. Algunas fuentes sugieren que sí:

F = Kv^2 o F = Kv, de la resistencia del aire F, la velocidad v, y una constante desconocida K.

Aunque me parece que la resistencia del aire es la razón detrás de esta relación tiempo-masa, realmente no puedo encontrar una relación entre esto y mi gráfico.

Mi supervisor me ha aconsejado que me limite a explicar, en mi escrito de análisis de la investigación, la naturaleza de la relación y cómo cambia con el tiempo, posiblemente describiendo por separado las dos secciones del gráfico que difieren claramente en sus gradientes debido al rápido cambio en un punto (debido a su naturaleza exponencial o de cuadrado inverso), sin utilizar una ecuación para derivar una explicación, si no puedo encontrar una.

Sin embargo, me parece que la relación entre las dos variables sigue un patrón (ya sea exponencial o el cuadrado inverso) demasiado preciso para ser inexplicable o accidental.

Disculpas si he divagado demasiado. He aquí un resumen de mi problema:

1. ¿Qué teoría explica la relación entre la masa de un cilindro y el tiempo que tarda en rodar por una pendiente?
2. ¿Qué ecuación(es) relaciona(n) las dos variables y explica(n) la forma de la gráfica que he obtenido? (cualquiera de las dos funciones indicadas anteriormente)
3. ¿Es la resistencia del aire la razón de la relación, como he mencionado? Y si lo es, ¿existe realmente una ecuación que explique la forma del gráfico? Y si no la hay, ¿cuál sería la forma más eficaz/correcta de interpretar y analizar dicha relación sin utilizar una ecuación?
4. ¿O la relación que tengo es realmente inexplicable a través de una única ecuación? ¿O es posiblemente accidental, o resultado de un error experimental que no reconozco?

Por favor, hágame saber si tiene alguna pregunta sobre esto o quiere cualquier información adicional que pueda haber omitido - lo cual es muy posible, ya que esta es la primera vez que hago una pregunta en el intercambio de pilas físicas.

Answer 1

La explicación más probable de la variación del tiempo de descenso es el cambio del momento de inercia (MI) del cilindro. El IM cambia porque la distribución de la masa alrededor del eje del cilindro cambia.

La resistencia del aire se ofrece con frecuencia como explicación de las discrepancias en los experimentos de mecánica escolar, pero esto rara vez es apropiado. Véase mi respuesta a ¿Resistencia del aire a efectos prácticos?

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La aceleración por la pendiente es [1]
$$a=\frac{g\sin\theta}{1+k}$$ donde el IM alrededor del centro es $I=kMR^2$ . La aceleración es constante por lo que la distancia y el tiempo a lo largo de la pendiente están relacionados por $s=\frac12 at^2$ . Por lo tanto, para una longitud y un ángulo de inclinación fijos $t^2$ debe ser proporcional a $1+k$ .

La masa del cilindro vacío se distribuye principalmente en el borde. Para un cilindro hueco de este tipo, el IM es $MR^2$ así que $k=1$ . Para un cilindro sólido de densidad uniforme el IM es $\frac12 MR^2$ así que $k=\frac12$ . La relación de tiempos de descenso debe ser $\sqrt{\frac{1+1}{1+\frac12}}=\sqrt{\frac{4}{3}}=1.1547$ .

Utilizando sus cifras, y asumiendo que el cilindro más ligero se aproxima a una cáscara cilíndrica mientras que el más pesado se aproxima a un cilindro sólido del mismo radio, esta relación es $\frac{2.119}{1.835}=1.15468$ . Esto se acerca vergonzosamente a la predicción, y (creo) confirma que esta explicación es muy probablemente la correcta. No es necesario invocar la resistencia del aire o la resistencia a la rodadura como explicación.

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Para un análisis más exhaustivo de sus datos, $k$ tiene que estar relacionado con la distribución de la masa en el cilindro.

Suponiendo que el cilindro vacío no tiene extremos, su IM es [2] $\frac12 m (R^2+r^2)$ donde $R, r$ son los radios exterior e interior. El MI del relleno es $\frac12 (M-m) r^2$ donde $M, m$ son la masa total y la masa del cilindro vacío. Por tanto, el IM total del cilindro lleno es
$kMR^2=\frac12 m (R^2+r^2)+\frac12 (M-m) r^2$
$k=\frac12 \mu (1+\rho^2)+\frac12 (1-\mu) \rho^2=\frac12(\mu+\rho^2)$
donde $\mu=m/M$ y $\rho=r/R$ .

Debería encontrar que $t^2=\frac{L}{g\sin\theta}(2+\rho^2+\mu)$ donde $L$ es la distancia del recorrido a lo largo de la pendiente.

Utilizando sus datos, he trazado el siguiente gráfico de $t^2$ vs $\mu=m/M$ junto con una línea de tendencia, pero podría utilizar los valores en su experimento $(L, R, r, \theta)$ para trazar la variación prevista. Observa que los puntos de datos están en orden inverso al de tu lista.

El punto de datos para una masa de 0,196 kg $(\mu \approx 0.37)$ es un candidato obvio para la investigación. Mi suposición es que esto podría ser los granos. Al igual que un fluido, éstos tenderían a mantener su posición mientras la carcasa del cilindro gira a su alrededor. En efecto, los granos dentro de la carcasa se deslizan en lugar de rodar por la pendiente; sólo la carcasa gira. Esto reduce el tiempo de descenso.

El tiempo de descenso medido es mayor que mi predicción cuando la masa del relleno es pequeña $(\mu \ll 1)$ . Posiblemente esto podría explicarse si el contenedor tiene extremos de cartón.

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[1] http://www.phys.ufl.edu/courses/phy2053/spring12/lectures/PHY2053_03-15-12.pdf , diapositiva 6.
[2] http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/ihoop.html

Answer 2

Me adelanté y encontré la ecuación del movimiento de un cilindro rodando por una rampa, despreciando la fricción de rodadura $^1$ pero incluyendo el arrastre cuadrático. La resistencia cuadrática significa que la fuerza de arrastre es proporcional a $v^2$ . La ecuación del movimiento es la siguiente, donde $x$ representa la distancia total recorrida por la rampa:

$$ \ddot{x}=\frac{2}{3}g\sin{\theta}-\frac{\rho A C_d}{m}\dot{x} $$

Encontré el primer término por mecánica lagrangiana, estableciendo $$ T=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}I\omega ^2 $$ $$V=-mgx\sin{\theta} $$

Para un cilindro, $I=\frac{1}{2}mr^2$ y $\omega = \frac{v}{r}$ .

Resolución de la ecuación lagrangiana

$$ \frac{d}{dt} ( \frac{\partial L}{\partial \dot{x}})= \frac{\partial L}{\partial x} $$

da

$$ \ddot{x}=\frac{2}{3}g\sin{\theta}. $$

A continuación, acabo de incluir el término de arrastre cuadrático $F_d=\frac{1}{2}\rho v^2 C_d A$ y dividido por la masa a través de $F=ma$ .

Desde $v^2=\dot{x}^2$ podemos sustituirlo en las ecuaciones. El resto de los términos no dependen de la masa ( $A$ se relaciona con la masa a través de $\rho_{cylinder}$ pero el $\rho$ en la ecuación es $\rho_{air}$ )

Resolviendo esta ecuación diferencial, fijando $a=\frac{2}{3}g\sin{\theta}$ y $b=\rho A C_d$ obtenemos

$$ x=\frac{a}{b}mt+\frac{c_1 m}{b}e^{\frac{-bt}{m}}+c_2. $$

Utilizando esta ecuación, y fijando $x(0)=\dot{x}(0)=0$ (ya que $x$ es la distancia rodada por la rampa), podemos obtener $$ c_1=\frac{a}{b}m $$ $$ c_2=-\frac{am^2}{b^2} $$

lo que nos da una ecuación final de

$$ x=\frac{a}{b}mt+\frac{a m^2}{b^2}e^{\frac{-bt}{m}}-\frac{am^2}{b^2}. $$

Esto es muy difícil, si no imposible, de resolver empíricamente $t(m)^2$ así que, en su lugar, lo he graficado en desmos para valores arbitrarios de $x$ , $a$ y $b$ , sólo para ver la dependencia de $t$ en $m$ .

Esta es la dependencia que he encontrado, ¡que parece coincidir muy bien con la tuya! Se incluyen los residuos, aunque no he incluido las barras de error.

Y aquí está el enlace para que juegues con él tú mismo: https://www.desmos.com/calculator/akux3vsubk

Espero que esto le ayude o responda a su pregunta.

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$^1$ Si se incluye el rozamiento por rodadura, simplemente se absorbe en el $a$ ya que depende de la masa, por lo que la masa se anula al hallar la aceleración.

$^2$ Fijando a=b=x=1, podemos resolver $t(m)$ y obtener (vía Wolfram Alpha)

$$ t=\frac{m^2 W(-e^{-1-\frac{1}{m^2}})+m^2+1}{m} $$

donde $W(x)$ es el registro de productos o función W de Lambert, que da la inversa de $f(z)=ze^z$