Probar o refutar que si $t$ es un número entero positivo, $$f(x,y)=\dfrac{x^2+y^2}{xy-t},$$ then $f(x,y)$ has only finitely many distinct integer values with $x,y$ positive integers. In other words, there exist $k\in\mathbb N$ such that if $n\gt k$ then $f(x,y)=n$ no tiene ningún número entero positivo de soluciones.
Este problema es una generalización de este famoso problema.
- A continuación está la lista de las $f(x,y)$ $t\le 10$ (puede ser incompleta):
{t,{f(x,y)}}=
{1,{5}}
{2,{4,10}}
{3,{3,4,8,13,17}}
{4,{5,26}}
{5,{13,25,37}}
{6,{6,10,50}}
{7,{5,8,9,20,29,41,65}}
{8,{4,10,18,34,82}}
{9,{5,29,61,101}}
{10,{20,122}}
Gracias de antemano!
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Stephan Aßmus
Puntos
16
14 de octubre de 2015. Esto es con $$ \frac{x^2 + y^2}{xy - t} > 0, $$ que creo que pueden ser la intención de la pregunta.
Tengo un poco de ayuda de Gerry Myerson MO a terminar la cosa. http://mathoverflow.net/questions/220834/optimal-bound-in-diophantine-representation-question/220844#220844
Tan lejos como la rápida equipo de cómputos, por un determinado $t,$ podemos exigir $1 \leq x \leq 4 t.$ Por cada $x,$ podemos exigir $1 \leq y \leq x$ junto con la muy útil $x y \leq 4 t.$ después de Haber encontrado un número entero de cociente $q,$ le, a continuación, mantener sólo aquellas soluciones con $2x \leq qy$ $2y \leq qx.$
En particular, para $t=1$ nos encontramos con $q=5,$ $t=2$ nos encontramos con $q=4,10.$ En ambos casos tenemos $q \leq (t+1)^2 + 1.$ continuamos con $t \geq 3.$
Con $t \geq 3, $ también contamos $t^2 \geq 3t > 3t - 1.$
Somos capaces de demanda $xy \leq 4t$, teniendo un Hurwitz Grundlösung, que es $2x \leq qy$ $2y \leq qx.$ Definir $k = xy - t \geq 1.$ Ahora, $xy \leq 4t,$ $k = xy - t \leq 3t,$ $k-1 \leq 3t - 1.$ Inversa, $3t-1 \geq k-1.$ Desde $t^2 > 3t - 1,$ llegar $$ t^2 > k-1. $$
Siguiente, $k \geq 1,$ $(k-1) \geq 0.$ por lo tanto, podría conseguir la igualdad en $$ (k-1)t^2 \geq (k-1)^2, $$ pero sólo cuando se $k=1.$ $$ 0 \geq t^2 - k t^2 + k^2 - 2 k + 1, $$ $$ k t^2 + 2 k \geq t^2 + k^2 + 1. $$ Divide by $k,$ $$ t^2 + 2 \geq \frac{t^2}{k} + k + \frac{1}{k}. $$ Add $2t,$ $$ t^2 +2t + 2 \geq \frac{t^2}{k} + 2 t + k + \frac{1}{k}, $$ con la igualdad sólo al $k=1.$ Inversa, $$ \frac{t^2}{k} + 2 t + k + \frac{1}{k} \leq t^2 +2t + 2 $$ con la igualdad sólo al $k=1.$
Aquí es Gerry mejor bits, esto no habría ocurrido a mí. Aquí estamos de nuevo para considerar todas las soluciones de $(x,y)$ y todos los $k=xy-t.$, Dibuje la gráfica de cuarto de círculo $x^2 + y^2 = k q.$ $x,y \geq 1,$ hay límite de puntos en $(1, \sqrt{kq-1})$ $( \sqrt{kq-1},1).$ La hipérbola $xy = \sqrt{kq-1}$ pasa a través de ambos puntos, pero entre permanece dentro del cuarto de círculo. Se sigue por la convexidad (o multiplicadores de Lagrange de nuevo) que, a lo largo del arco circular, $$ \color{blue}{ xy \geq \sqrt{kq-1}}. $$ But, of course, $x^2 + y^2 = k q = qxy - t p$ is equivalent to our original equation $x^2 - q x y + y^2 = -ca.$ Tenemos $$ -tq = x^2 - q x y + y^2 = (x^2 + y^2 ) - q x y = k q - q x y \leq kq - q \sqrt{kq-1}, $$ o $$ -tq \leq kq - q \sqrt{kq-1}, $$ $$ -t \leq k - \sqrt{kq-1}, $$ $$ \sqrt{kq-1} \leq t + k, $$ $$ kq -1 \leq t^2 + 2k t + k^2, $$ $$ kq \leq t^2 + 2 kt + k^2 + 1, $$ divide by $k,$ $$ q \leq \frac{t^2}{k} + 2 t + k + \frac{1}{k}. $$
Para $t \geq 3$ y una solución de con $xy < 4t,$ nos mostró $$ \frac{t^2}{k} + 2 t + k + \frac{1}{k} \leq t^2 +2t + 2 $$ con la igualdad sólo al $k=1.$ Para todas las soluciones, Gerry mostró $$ q \leq \frac{t^2}{k} + 2 t + k + \frac{1}{k}. $$ Poner esto juntos, obtenemos $$ q \leq t^2 +2t + 2 $$ con la igualdad sólo al $k=1,$ $xy = t+1.$
ANEXO 15 de octubre. Aquí es otra forma de obtener Gerry principal de observación, con $k = xy - t,$ que $xy \geq \sqrt{kq-1}.$ Tenemos $x,y \geq 1$ y $kq =x^2 + y^2 .$ $kq \geq x^2 + 1$ $kq -(x^2 + 1) \geq 0.$ También contamos $x^2 - 1 \geq 0.$ Multiplicar, $$ (x^2 - 1) kq - (x^4 - 1) \geq 0. $$ Siguiente, $y^2 = kq - x^2,$ $x^2 y^2 = kq x^2 - x^4.$ Que es $$ x^2 y^2 = (kq-1) + (x^2 - 1)kq - (x^4 - 1). $$ Sin embargo, $$ (x^2 - 1) kq - (x^4 - 1) \geq 0, $$ lo $$ x^2 y^2 \geq kq - 1, $$ $$ \color{blue}{ xy \geq \sqrt{kq-1}}. $$
Adesh Tamrakar
Puntos
128
Sea f(x,y) ser cualquier número entero con t también un número entero y encontrar que x e y necesariamente enteros. deje$ f(x,y)=z$ , $z(xy)-zt=x^2+y^2$ Deje $zt$ ser otro entero $w$, $w=(z+2)(xy)-(x+y)^2$ Ahora la suma de $(z+2)xy$ $-(x+y)^2$ a ser números enteros, tanto de las condiciones debe ser por separado enteros. Ahora se puede decir que deje $xy=A$ Donde $A$ es un entero y $(x+y)^2=B$ ahora aquí $B$ será necesariamente un cuadrado perfecto, de otra manera no va a satisfacer entero que resta de enteros es un número entero. Así que, ahora resolverlo y te vas a encontrar x e y son la suma o la resta de números enteros . Por lo tanto son números enteros.
jonathan hall
Puntos
307
En algunos casos las decisiones pueden ser infinitamente muchos. Puede utilizar esta fórmula y seleccionar los ratios necesarios. Que la raíz era racional. Aunque es necesario llevar las decisiones algunas soluciones bastante simples:
la ecuación: $aX^2+bXY+cY^2=f$
Si la raíz de todo: $\sqrt{\frac{f}{a+b+c}}$
Continuación, utilice la solución de la ecuación de Pell: $p^2-(b^2-4ac)s^2=1$
Soluciones se pueden escribir:
$Y=((4a+2b)ps\pm(p^2+(b^2-4ac)s^2))\sqrt{\frac{f}{a+b+c}}$
$X=(-(4c+2b)ps\pm(p^2+(b^2-4ac)s^2))\sqrt{\frac{f}{a+b+c}}$
Stephan Aßmus
Puntos
16
4 de octubre de 2015. Esto es con $$ \frac{x^2 + y^2}{xy - t} > 0, $$ que creo que pueden ser la intención de la pregunta.
He estado jugueteando con esta por un tiempo. Permítanme sólo una conjetura, que el mayor entero positivo valor del cociente $q$ $(t+1)^2 + 1.$ Esto ocurre cuando $$ x = t+1, \; \; y = 1, \; \; q = \frac{x^2 + y^2}{xy - t} = \frac{(t+1)^2 + 1^2}{(t+1)(1) - t} = \frac{(t+1)^2 + 1^2}{1}= (t+1)^2 + 1 $$ El uso de "Vieta de Salto," para cualquier valor específico $t$ es una finito de verificación. Me resultó $t=1$ bastante fácilmente. Voy a ver cómo va, ahora que tengo un determinado límite superior para apuntar.
La imagen básica, debido a Hurwitz (1907), es el arco de la hipérbola $$ x^2 - q x y + y^2 = -tq $$ in the first quadrant $x,y > 0$, que se encuentra en el sector de el primer cuadrante dada por $$ 2 x \leq q y $$ y $$ 2 y \leq q x. $$ Note that the points of intersection of the two boundary lines with the hyperbola branch give the two points with the minimum values of $x$ and of $y.$
Did a run, printed only $x > y$ between the Hurwitz lines. The conjecture $\color{red}{q \leq (t+1)^2 + 1}$ se ve muy buena.
=-=-=-=-=-=-=-=-==-=-=-=-=-=-=-==-=-=-=-=-=-=-==-=-=-=-=-=-=-==-=-=-=-=-=-=
x 2 y 1 t 1 q 5 +++
x 2 y 2 t 2 q 4
x 3 y 1 t 2 q 10 +++
x 2 y 2 t 3 q 8
x 3 y 3 t 3 q 3
x 4 y 1 t 3 q 17 +++
x 4 y 2 t 3 q 4
x 5 y 1 t 3 q 13
x 4 y 2 t 4 q 5
x 5 y 1 t 4 q 26 +++
x 3 y 2 t 5 q 13
x 6 y 1 t 5 q 37 +++
x 7 y 1 t 5 q 25
x 3 y 3 t 6 q 6
x 4 y 2 t 6 q 10
x 7 y 1 t 6 q 50 +++
x 3 y 3 t 7 q 9
x 4 y 2 t 7 q 20
x 4 y 3 t 7 q 5
x 6 y 2 t 7 q 8
x 8 y 1 t 7 q 65 +++
x 9 y 1 t 7 q 41
x 12 y 1 t 7 q 29
x 3 y 3 t 8 q 18
x 4 y 4 t 8 q 4
x 6 y 2 t 8 q 10
x 9 y 1 t 8 q 82 +++
x 13 y 1 t 8 q 34
x 5 y 2 t 9 q 29
x 6 y 3 t 9 q 5
x 10 y 1 t 9 q 101 +++
x 11 y 1 t 9 q 61
x 6 y 2 t 10 q 20
x 11 y 1 t 10 q 122 +++
x 4 y 3 t 11 q 25
x 6 y 2 t 11 q 40
x 6 y 4 t 11 q 4
x 12 y 1 t 11 q 145 +++
x 13 y 1 t 11 q 85
x 4 y 4 t 12 q 8
x 6 y 6 t 12 q 3
x 8 y 2 t 12 q 17
x 8 y 4 t 12 q 4
x 9 y 3 t 12 q 6
x 10 y 2 t 12 q 13
x 13 y 1 t 12 q 170 +++
x 17 y 1 t 12 q 58
x 5 y 3 t 13 q 17
x 6 y 3 t 13 q 9
x 7 y 2 t 13 q 53
x 9 y 2 t 13 q 17
x 14 y 1 t 13 q 197 +++
x 15 y 1 t 13 q 113
x 18 y 1 t 13 q 65
x 23 y 1 t 13 q 53
x 4 y 4 t 14 q 16
x 5 y 3 t 14 q 34
x 8 y 2 t 14 q 34
x 15 y 1 t 14 q 226 +++
x 4 y 4 t 15 q 32
x 5 y 5 t 15 q 5
x 6 y 3 t 15 q 15
x 7 y 4 t 15 q 5
x 8 y 2 t 15 q 68
x 9 y 6 t 15 q 3
x 16 y 1 t 15 q 257 +++
x 17 y 1 t 15 q 145
x 8 y 4 t 16 q 5
x 10 y 2 t 16 q 26
x 17 y 1 t 16 q 290 +++
x 6 y 3 t 17 q 45
x 9 y 2 t 17 q 85
x 9 y 3 t 17 q 9
x 11 y 2 t 17 q 25
x 18 y 1 t 17 q 325 +++
x 19 y 1 t 17 q 181
x 22 y 1 t 17 q 97
x 27 y 1 t 17 q 73
x 6 y 6 t 18 q 4
x 9 y 3 t 18 q 10
x 10 y 2 t 18 q 52
x 14 y 2 t 18 q 20
x 19 y 1 t 18 q 362 +++
x 23 y 1 t 18 q 106
x 31 y 1 t 18 q 74
x 5 y 4 t 19 q 41
x 7 y 3 t 19 q 29
x 10 y 2 t 19 q 104
x 12 y 3 t 19 q 9
x 16 y 2 t 19 q 20
x 20 y 1 t 19 q 401 +++
x 21 y 1 t 19 q 221
x 5 y 5 t 20 q 10
x 6 y 4 t 20 q 13
x 7 y 3 t 20 q 58
x 11 y 3 t 20 q 10
x 12 y 2 t 20 q 37
x 14 y 2 t 20 q 25
x 21 y 1 t 20 q 442 +++
x 9 y 3 t 21 q 15
x 11 y 2 t 21 q 125
x 22 y 1 t 21 q 485 +++
x 23 y 1 t 21 q 265
x 34 y 1 t 21 q 89
x 38 y 1 t 21 q 85
x 6 y 4 t 22 q 26
x 8 y 4 t 22 q 8
x 9 y 3 t 22 q 18
x 12 y 2 t 22 q 74
x 16 y 2 t 22 q 26
x 23 y 1 t 22 q 530 +++
x 27 y 1 t 22 q 146
x 5 y 5 t 23 q 25
x 6 y 4 t 23 q 52
x 7 y 4 t 23 q 13
x 8 y 3 t 23 q 73
x 8 y 6 t 23 q 4
x 11 y 3 t 23 q 13
x 12 y 2 t 23 q 148
x 14 y 2 t 23 q 40
x 24 y 1 t 23 q 577 +++
x 25 y 1 t 23 q 313
x 28 y 1 t 23 q 157
x 33 y 1 t 23 q 109
x 5 y 5 t 24 q 50
x 6 y 6 t 24 q 6
x 8 y 4 t 24 q 10
x 9 y 3 t 24 q 30
x 14 y 2 t 24 q 50
x 25 y 1 t 24 q 626 +++
x 7 y 6 t 25 q 5
x 9 y 3 t 25 q 45
x 10 y 5 t 25 q 5
x 13 y 2 t 25 q 173
x 26 y 1 t 25 q 677 +++
x 27 y 1 t 25 q 365
x 9 y 3 t 26 q 90
x 10 y 6 t 26 q 4
x 14 y 2 t 26 q 100
x 27 y 1 t 26 q 730 +++
x 6 y 6 t 27 q 8
x 7 y 4 t 27 q 65
x 8 y 4 t 27 q 16
x 9 y 9 t 27 q 3
x 12 y 3 t 27 q 17
x 12 y 6 t 27 q 4
x 14 y 2 t 27 q 200
x 15 y 3 t 27 q 13
x 16 y 2 t 27 q 52
x 28 y 1 t 27 q 785 +++
x 29 y 1 t 27 q 421
x 32 y 1 t 27 q 205
x 37 y 1 t 27 q 137
x 6 y 6 t 28 q 9
x 8 y 4 t 28 q 20
x 8 y 6 t 28 q 5
x 11 y 3 t 28 q 26
x 12 y 4 t 28 q 8
x 16 y 2 t 28 q 65
x 18 y 2 t 28 q 41
x 24 y 2 t 28 q 29
x 29 y 1 t 28 q 842 +++
x 33 y 1 t 28 q 218
x 6 y 5 t 29 q 61
x 10 y 3 t 29 q 109
x 15 y 2 t 29 q 229
x 30 y 1 t 29 q 901 +++
x 31 y 1 t 29 q 481
x 6 y 6 t 30 q 12
x 8 y 4 t 30 q 40
x 16 y 2 t 30 q 130
x 16 y 4 t 30 q 8
x 31 y 1 t 30 q 962 +++
x 47 y 1 t 30 q 130
x 8 y 4 t 31 q 80
x 11 y 3 t 31 q 65
x 16 y 2 t 31 q 260
x 32 y 1 t 31 q 1025 +++
x 33 y 1 t 31 q 545
x 44 y 1 t 31 q 149
x 57 y 1 t 31 q 125
x 6 y 6 t 32 q 18
x 8 y 8 t 32 q 4
x 11 y 3 t 32 q 130
x 12 y 4 t 32 q 10
x 15 y 3 t 32 q 18
x 18 y 2 t 32 q 82
x 26 y 2 t 32 q 34
x 33 y 1 t 32 q 1090 +++
x 37 y 1 t 32 q 274
x 57 y 1 t 32 q 130
x 6 y 6 t 33 q 24
x 7 y 5 t 33 q 37
x 12 y 3 t 33 q 51
x 12 y 9 t 33 q 3
x 17 y 2 t 33 q 293
x 19 y 2 t 33 q 73
x 21 y 3 t 33 q 15
x 23 y 2 t 33 q 41
x 25 y 2 t 33 q 37
x 34 y 1 t 33 q 1157 +++
x 35 y 1 t 33 q 613
x 38 y 1 t 33 q 289
x 43 y 1 t 33 q 185
x 6 y 6 t 34 q 36
x 7 y 5 t 34 q 74
x 18 y 2 t 34 q 164
x 35 y 1 t 34 q 1226 +++
x 47 y 1 t 34 q 170
x 6 y 6 t 35 q 72
x 7 y 7 t 35 q 7
x 9 y 4 t 35 q 97
x 12 y 3 t 35 q 153
x 18 y 2 t 35 q 328
x 26 y 2 t 35 q 40
x 36 y 1 t 35 q 1297 +++
x 37 y 1 t 35 q 685
x 10 y 4 t 36 q 29
x 12 y 6 t 36 q 5
x 15 y 3 t 36 q 26
x 20 y 2 t 36 q 101
x 22 y 2 t 36 q 61
x 37 y 1 t 36 q 1370 +++
x 7 y 6 t 37 q 17
x 9 y 7 t 37 q 5
x 13 y 3 t 37 q 89
x 13 y 6 t 37 q 5
x 14 y 3 t 37 q 41
x 19 y 2 t 37 q 365
x 21 y 2 t 37 q 89
x 22 y 3 t 37 q 17
x 38 y 1 t 37 q 1445 +++
x 39 y 1 t 37 q 761
x 42 y 1 t 37 q 353
x 47 y 1 t 37 q 221
x 8 y 6 t 38 q 10
x 10 y 4 t 38 q 58
x 12 y 4 t 38 q 16
x 13 y 3 t 38 q 178
x 18 y 4 t 38 q 10
x 20 y 2 t 38 q 202
x 21 y 3 t 38 q 18
x 24 y 2 t 38 q 58
x 39 y 1 t 38 q 1522 +++
x 43 y 1 t 38 q 370
x 55 y 1 t 38 q 178
x 8 y 5 t 39 q 89
x 10 y 4 t 39 q 116
x 10 y 8 t 39 q 4
x 15 y 3 t 39 q 39
x 20 y 2 t 39 q 404
x 34 y 2 t 39 q 40
x 40 y 1 t 39 q 1601 +++
x 41 y 1 t 39 q 841
x 12 y 4 t 40 q 20
x 22 y 2 t 40 q 122
x 27 y 3 t 40 q 18
x 41 y 1 t 40 q 1682 +++
x 7 y 6 t 41 q 85
x 9 y 6 t 41 q 9
x 14 y 3 t 41 q 205
x 21 y 2 t 41 q 445
x 42 y 1 t 41 q 1765 +++
x 43 y 1 t 41 q 925
x 70 y 1 t 41 q 169
x 7 y 7 t 42 q 14
x 12 y 6 t 42 q 6
x 15 y 3 t 42 q 78
x 22 y 2 t 42 q 244
x 26 y 2 t 42 q 68
x 43 y 1 t 42 q 1850 +++
x 47 y 1 t 42 q 442
x 8 y 6 t 43 q 20
x 9 y 5 t 43 q 53
x 9 y 8 t 43 q 5
x 10 y 6 t 43 q 8
x 11 y 4 t 43 q 137
x 11 y 7 t 43 q 5
x 12 y 4 t 43 q 32
x 15 y 3 t 43 q 117
x 16 y 3 t 43 q 53
x 22 y 2 t 43 q 488
x 24 y 2 t 43 q 116
x 44 y 1 t 43 q 1937 +++
x 45 y 1 t 43 q 1013
x 48 y 1 t 43 q 461
x 53 y 1 t 43 q 281
x 68 y 1 t 43 q 185
x 80 y 1 t 43 q 173
x 8 y 6 t 44 q 25
x 9 y 5 t 44 q 106
x 12 y 4 t 44 q 40
x 12 y 8 t 44 q 4
x 15 y 3 t 44 q 234
x 24 y 2 t 44 q 145
x 26 y 2 t 44 q 85
x 45 y 1 t 44 q 2026 +++
x 57 y 1 t 44 q 250
x 9 y 6 t 45 q 13
x 10 y 5 t 45 q 25
x 18 y 3 t 45 q 37
x 21 y 3 t 45 q 25
x 23 y 2 t 45 q 533
x 29 y 2 t 45 q 65
x 46 y 1 t 45 q 2117 +++
x 47 y 1 t 45 q 1105
x 8 y 6 t 46 q 50
x 12 y 4 t 46 q 80
x 24 y 2 t 46 q 290
x 36 y 2 t 46 q 50
x 47 y 1 t 46 q 2210 +++
x 75 y 1 t 46 q 194
x 7 y 7 t 47 q 49
x 8 y 6 t 47 q 100
x 12 y 4 t 47 q 160
x 12 y 5 t 47 q 13
x 13 y 4 t 47 q 37
x 14 y 8 t 47 q 4
x 16 y 3 t 47 q 265
x 16 y 4 t 47 q 16
x 19 y 3 t 47 q 37
x 19 y 4 t 47 q 13
x 24 y 2 t 47 q 580
x 26 y 2 t 47 q 136
x 36 y 2 t 47 q 52
x 48 y 1 t 47 q 2305 +++
x 49 y 1 t 47 q 1201
x 52 y 1 t 47 q 541
x 57 y 1 t 47 q 325
x 60 y 1 t 47 q 277
x 64 y 1 t 47 q 241
x 73 y 1 t 47 q 205
x 81 y 1 t 47 q 193
x 7 y 7 t 48 q 98
x 8 y 8 t 48 q 8
x 12 y 12 t 48 q 3
x 16 y 4 t 48 q 17
x 16 y 8 t 48 q 4
x 18 y 6 t 48 q 6
x 20 y 4 t 48 q 13
x 21 y 3 t 48 q 30
x 26 y 2 t 48 q 170
x 34 y 2 t 48 q 58
x 49 y 1 t 48 q 2402 +++
x 53 y 1 t 48 q 562
x 10 y 5 t 49 q 125
x 14 y 7 t 49 q 5
x 17 y 3 t 49 q 149
x 22 y 3 t 49 q 29
x 25 y 2 t 49 q 629
x 50 y 1 t 49 q 2501 +++
x 51 y 1 t 49 q 1301
x 9 y 7 t 50 q 10
x 10 y 10 t 50 q 4
x 15 y 5 t 50 q 10
x 17 y 3 t 50 q 298
x 26 y 2 t 50 q 340
x 42 y 2 t 50 q 52
x 51 y 1 t 50 q 2602 +++
x 91 y 1 t 50 q 202
=-=-=-=-=-=-=-=-==-=-=-=-=-=-=-==-=-=-=-=-=-=-==-=-=-=-=-=-=-==-=-=-=-=-=-=
Stephan Aßmus
Puntos
16
El 7 de octubre de 2015. Esto es con $$ \frac{x^2 + y^2}{xy - t} > 0, $$ que creo que pueden ser la intención de la pregunta.
He demostrado la finitud, con una explícita obligado que no es tan malo.
Esto funciona. Tenga en cuenta que la pregunta original requiere de $xy> t.$ de lo Contrario podríamos tener enumerados $x=1,y=1,t=2$ para obtener $(x^2 + y^2)/ (xy-t) = -2.$ Esto no fue hecho. Así que estamos manteniendo $xy>t>0,$ en $$ \frac{x^2 + y^2}{xy-t} = q. $$
Tenemos el arco de la hipérbola $$ x^2 - q x y + y^2 = -tq $$ in the first quadrant $x,y > 0$, que se encuentra en el sector de el primer cuadrante definido por $$ 2 x \leq q y $$ y $$ 2 y \leq q x. $$ Note that the points of intersection of the two boundary lines with the hyperbola branch give the two points with the minimum values of $x$ and of $y.$ Como se señaló en la otra respuesta, si hay cualquier número entero de soluciones de $(x,y)$ $q$ también un número entero, entonces existe al menos una solución de entre las indicadas Hurwitz líneas.
Siguiente, siempre tenemos $q \geq 3.$ $ x^2 - q x y + y^2 = -tq ,$ si $q=1$ la forma cuadrática en el lado izquierdo es positiva definida y no puede ser nunca igual a la del lado derecho, que es negativo. Si $q=2$ la forma cuadrática en el lado izquierdo es positivo semi-definitiva ($(x-y)^2$) y no puede ser nunca igual a la del lado derecho, que es negativo.
La clave de la finitud era simplemente el tamaño de $xy/t.$ ya sabemos que $xy > t,$ $xy/t > 1.$ Por multiplicadores de Lagrange, el menor valor se produce cuando $x = y,$, punto en el que $$ \frac{xy}{t} = \frac{q}{q-2} = 1 + \frac{2}{q-2}. $$ Una vez más, por los multiplicadores de Lagrange, el mayor valor de $xy/t$ dentro de la Hurwitz región se produce en el límite, el punto donde una de las líneas cumple con la hipérbola. Uno de ellos es en $$ y = \left( \frac{2}{q} \right) x. $$ Plugging this into $ x^2 - q x y + y^2 = -ca $ gives a nice value for $x^2,$ then $ y^2 = \left( \frac{4}{p^2} \right) x^2 $ gives a nice value for $s^2.$ Estos resultan ser $$ x^2 = \frac{q^3 t}{q^2 - 4}, \; \; \; y^2 = \frac{4 q t}{q^2 - 4}. $$ Juntos $$ x^2 y^2 = \frac{4 q^4 t^2}{(q^2 - 4)^2}, $$ y $$ x y = \frac{2 q^2 t}{q^2 - 4}, $$ o $$ \frac{x y}{t} = \frac{2 q^2 }{q^2 - 4} = \frac{2 q^2 - 8 }{q^2 - 4} + \frac{8 }{q^2 - 4} = 2 + \frac{8 }{q^2 - 4} . $$ Esto le da el máximo. Desde $q \geq 3,$ $$ \frac{x y}{t} \leq 2 + \frac{8 }{3^2 - 4} = \frac{18}{5} = 3.6 . $$
Aquí podemos volver finalmente a números enteros. Tenemos $x \geq 1,$ que nos dice que un Hurwitz solución fundamental siempre ha $$ y \leq \frac{18}{5} t. $$ Once again, Lagrange multipliers tell us that $x^2 + y^2$ is maximized at the boundary point $x=1$ on the curve $xy= 18t/5,$ así $$ x^2 + y^2 \leq 1 + \frac{324}{25} t^2. $$ However, $xy - t \geq 1,$ meaning $q \leq x^2 + y^2.$ A continuación, obtener la finitudde $$ q \leq 1 + \frac{324}{25} t^2. $$
Cálculos, como el anterior, sugieren que el más fuerte $q \leq t^2 + 2 t + 2.$
Tan lejos como la rápida equipo de cómputos, por un determinado $t,$ podemos exigir $1 \leq x \leq 4 t$ porque $18/5 < 4.$ Por cada $x,$ podemos exigir $1 \leq y \leq x$ junto con la muy útil $x y \leq 4 t.$ después de Haber encontrado un número entero de cociente $q,$ le, a continuación, mantener sólo aquellas soluciones con $2x \leq qy$ $2y \leq qx.$
Repetir la parte buena: si hay alguna solución $(x,y)$, entonces hay al menos una solución fundamental, que es con $$ \color{blue}{ 2x \leq qy}$$ and $$ \color{blue}{ 2y \leq qx}.$$ Para una solución fundamental, tenemos $$ \color{blue}{ 1 + \frac{2}{q-2} \leq \frac{xy}{t} \leq 2 + \frac{8}{q^2-4} }. $$
Aquí está un gráfico de $t=1, q=5:$
