¿Existen límites evaluados en el infinito?

Question

Aquí hay algunos límite: $$\lim_{x \to b} f(x)$$

Sabemos que para un límite de existir, debemos tener $$\lim_{x \to b+} f(x) = \lim_{x \to b-} f(x)$$

Así que estoy confundido porque, al $b=+\infty$ sólo podemos evaluar este límite por la izquierda y no la derecha. No podemos acercarnos infinito de una mayor infinito. Esto significa que los límites evaluados en el infinito no existe y por lo tanto ninguno de los límite de leyes como la suma se aplican a los límites evaluados en el infinito?

EDIT: Entonces, ¿eso significa que puede utilizar el límite de leyes tales como la suma, la composición, etc en los límites evaluados en el infinito mientras los límites tienden a un valor finito?

I. e.

$$\lim_{x \to \infty} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to \infty} f(x) + \lim_{x \to \infty} g(x)$$ mientras tanto de los límites separados son algunos finito valor?

Y así sucesivamente, para la multiplicación, la composición, etc?

Answer 1

Límites en el infinito se definen de manera diferente en el análisis estándar.

Concretamente, vamos a decir que $\lim_{x\to \infty} f(x) = L$ si cada $\epsilon >0$ allí es una $M\in\mathbb{R}$ tal que para cada $x>M$ tenemos que $|f(x)-L| < \epsilon$.

Answer 2

La noción de límite de la izquierda/derecha simplemente no tiene sentido si $x\rightarrow\infty$ o $x\rightarrow -\infty$. La regla es lo que se refiere a sólo es válida cuando $x$ tiende a un número (finito) $b$.

Sin embargo existen límites en el infinito hacer . Su definición es diferente de límites en $b\in\mathbb{R}$, pero aplican las mismas reglas algebraicas a ellos.

Answer 3

Límites izquierdos y derecho son casos especiales del concepto límite general y sólo tienen sentido para límites $x\to b$ cuando $b\in{\mathbb R}$. Los necesitamos en casos cuando una función se define solamente para $x<b$, o si $f$ está dada por diferentes expresiones para $x<b$ y $x>b$. La instrucción $$\lim_{x\to b} f(x)=\alpha\quad\Leftrightarrow\quad \lim_{x\to b-}=\alpha\quad\wedge\quad \lim_{x\to b+}=\alpha\ $ $ es una proposicióny no una definición.