Amplitud de la amplitud de la probabilidad. ¿Cuál es?

Question

La QM comienza con una regla de Born que establece que la probabilidad $P$ es igual al cuadrado del módulo de la amplitud de la probabilidad $\psi$ :

$$P = \left|\psi\right|^2.$$

Si escribo una función de onda así $\psi = \psi_0 e^{i(kx - \omega t)}$ Me parece que $\psi_0$ en el interior.

Si $\psi$ se llama amplitud de probabilidad entonces qué es $\psi_0$ ¿se llama? ¿Acaso se llama amplitud de una amplitud de probabilidad ?

Answer 1

INCLUYENDO UNA EXTENSIÓN

$\psi_o$ es, como se ha mencionado anteriormente, la constante de normalización que se calcula haciendo la integral $\int_V|\psi|^2dV$ y fijando su valor en 1 (de ahí la normalización). Esto le dará la ecuación para $\psi_o$ . Si tu interés es encontrar la amplitud de probabilidad para una partícula en un volumen V, por ejemplo, entonces obtienes la ecuación

$$\int_V|\psi|^2dV = |\psi_o|^2 V = 1\quad,$$

que te da

$$\psi_o = \frac{1}{\sqrt{V}}\quad,$$

y ésta es la constante de normalización de la amplitud de la probabilidad $\psi$ . Así, escribirá

$$\psi(\textbf{r})= \frac{1}{\sqrt{V}}\exp[i(\textbf{k}\cdot\textbf{r}-\omega t)]\quad.$$

Para una partícula en un volumen infinitamente grande, la amplitud de la probabilidad es cero. Es decir $\psi_0=0$ . Por tanto, la probabilidad de encontrar la partícula en una posición determinada es cero.

Espero que esto ayude a entender la diferencia entre estos dos. Esta pregunta ya se ha formulado antes en un formato diferente y se han dado respuestas. A la luz de su pregunta reformulada, considere lo siguiente:

EXTENSIÓN:

La solución general de la ecuación de Schrodinger para una partícula libre en 1-D (como en su pregunta) es

$\psi(x)=\psi_0e^{i(kx-\omega t)}$

La cuestión con esta pregunta es que pone funciones de onda arbitrarias y pregunta cómo normalizarlas. No hay problema con eso, pero para normalizar la función de onda hay que conocer los límites del problema, de ahí las condiciones de contorno.

Suponiendo que tenga una "caja" de lado L en el $x$ -eje, la normalización le dará $\psi_0=\frac{1}{\sqrt {L}}$ para que

$\psi(x)=\frac {1}{\sqrt {L}}e^{i(kx-\omega t)}$

Si ahora quieres ver qué pasará con la función de onda si $L$ va al infinito, hay que tener en cuenta que el factor de fase es finito para que resulte en $\psi_0=0$ y toda la función de onda es cero. Esto significa, como se ha dicho anteriormente, que no hay posibilidad de encontrar la partícula en un punto concreto a lo largo del $x$ -eje.

En el genuino caso en el que la función de onda de la partícula sí ocupa todo el $x$ -(todo el volumen en el caso general,) entonces, la partícula tiene un momento bien definido, por lo tanto la energía (es un estado estacionario,) pero vamos a centrarnos en la dimensión espacial para simplificar. Esto significa que en el espacio de momento, la función de onda debe ser $\delta (p^/-p) $ función. De este modo, se obtiene la norma $\delta$ -Normalización de la función de onda, como mencioné en una comunicación anterior. En otras palabras, hacemos una transformación de Fourier de la onda plana (la función de onda anterior) con la condición de que L vaya al infinito, y esto produce el valor correcto del momento agudo como indica el $\delta$ -función

$\psi_k (x)=\frac {1}{\sqrt{2\pi}}e^{i(kx)}$

El límite L que va al infinito ya se ha tenido en cuenta en la transformada de Fourier, de ahí que la $2\pi$ en el coeficiente de normalización.

Es muy importante entender que el wf debe reflejar el principio de incertidumbre. Por esta razón, una partícula libre suele describirse mediante un paquete de ondas, como se ha mencionado en otras respuestas, con un perfil gaussiano. Para una partícula que está inicialmente confinada en una región de anchura $w_0$ y luego se deja libre, el perfil gaussiano se expande, y la ecuación de evolución de la anchura viene dada por la mecánica cuántica estándar (hay una buena teoría al respecto, véase: Stephen Gasiorowicz página 67-70, David Bohm página: 45-47, por ejemplo). Finalmente, con el tiempo, la función de onda se reduce a una onda plana, una función de onda de partícula libre.

Answer 2

$\psi_0$ es la amplitud inicial y $\psi$ es la amplitud después de una cierta cantidad de tiempo (o más apropiadamente, la amplitud después de algún cambio en las coordenadas del espacio-tiempo). La función que ha proporcionado: $\psi=\psi_0e^{i(kx-\omega t)}$ ; es una función del espacio y del tiempo. Así que me dice que dada una función inicial $\psi_0$ en algún momento $t$ o posición $x$ habrá evolucionado en alguna función $\psi$ . Ambos $\psi$ y $\psi_0$ son amplitudes de probabilidad, es sólo que $\psi_0$ es la amplitud de la probabilidad en algún punto inicial.

Así que mi respuesta es que se llama amplitud inicial, o amplitud nula.