$x^2+y^3 = z^4$ para enteros positivos

Question

¿Cómo puedo resolver esta ecuación diofántica:

$$x^2+y^3=z^4$$ para $(x, y, z) \in \mathbb{Z}_{>0}$

Intenté buscar en Wolfram Alpha pero parece que no hay soluciones...

Answer 1

Este es un caso especial de la ecuación de Fermat generalizada $$x^p+y^q=z^r$$ Para $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}\le 1$ tiene solo un número finito de soluciones enteras coprimas, como han demostrado Darmon y Granville. Sin embargo, para $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}>1$ hay infinitas soluciones enteras coprimas distintas de cero, dadas por un conjunto finito de familias de 2 parámetros, ver Beukers, la ecuación Diofántica $Ax^p + By^q = Cz^r$, Duke Math. J. 91 (1998), 61-88. Las parametrizaciones explícitas (con demostraciones) se pueden encontrar en el Capítulo 14 del libro de Cohen Teoría de números, Vol. II.

Answer 2

$$X^{n}+Y^{n+1}=Z^{n+2}$$

La solución siempre se puede escribir, por ejemplo.

$$X=(c^2-b^2)^{(n+2)}b^{(n^2+2n-1)}c^{(n+1)^2}$$

$$Y=(c^2-b^2)^{(n+1)}b^{(n-1)(n+2)}c^{n(n+1)}$$

$$Z=(c^2-b^2)^{n}b^{(n-1)(n+1)}c^{(n^2+1)}$$

Si haces este cambio. $X^2+Y^3=Z^4$

$$p=tz(2zk^2+t)$$

$$s=tzk^2(2zk^2-t)$$

El resultado de tal decisión.

$$X=sp^3$$

$$Y=2tzk^2p^2$$

$$Z=kp^2$$

Donde los números $t,z,k$ - enteros y se establecen. Es posible que necesite después de obtener los números, dividir por el divisor común.