Determinante del Jacobiano de un mapa corto

Question

Deje $U\subset \mathbb{R}^2$ $f:U\rightarrow \mathbb{R}^2$ ser un diferenciable en todas partes breve mapa (es decir, una función de Lipschitz con la parte superior de Lipschitz constante =1, la parte superior de Lipschitz constante se define como $\sup\limits_{x\in U}\sup\limits_{v\in\mathbb{R}^2,||v||=1}||df_xv||$). Supongamos que $f$ también es bi-Lipschitz y que su baja constante de Lipschitz es igual a $c$, $0<c<1$ (la parte inferior de Lipschitz constante se define como $\inf\limits_{x\in U}\inf\limits_{v\in\mathbb{R}^2,||v||=1}||df_xv||$).

Deje $|J_f(p)|$ ser el determinante del Jacobiano de $f$$p\in U$.

En este caso he leído que debería ser $|J_f(p)|\ge c$ por cada $p\in U$, pero no puedo entender por qué. Puede que me lo explique?

Answer 1

ACTUALIZACIÓN: El argumento de abajo muestra que pointwise el Jacobiano determinante es el producto de la parte superior e inferior local constantes de Lipschitz, pero que en realidad no acaba de dirección de la pregunta.

Con las definiciones y supuestos dados, la conclusión es errónea, la mejor cota inferior para el determinante Jacobiano es $c^2$. Una simple contraejemplo a la conclusión expuesta está dada por el mapa de conformación $f(z) = e^z$ donde $U = [-1,0] \times [0,\pi]$ (y donde $\mathbb{R}^2$ se identifica con el plano complejo $\mathbb{C}$ en la forma habitual). Pointwise superior e inferior de Lipschitz constantes se $|f'(z)| = |e^z| = e^x$, máximo $1$ y mínimo de $1/e$$U$. El determinante Jacobiano es $|f'(z)|^2 = e^{2x}$ que tenga un mínimo de $1/e^2$$U$.

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La forma en que se define el límite inferior y superior de Lipschitz constantes no es estándar, por lo general, son las mejores constantes positivas $c$ $C$ tal que $c|x-y| \le |f(x)-f(y)| \le C|x-y|$. Sin embargo, va con su definición, esto es básicamente un local de resultado que se viene abajo al álgebra lineal. Fijo $p$$A = df_p$, la derivada direccional en la dirección $v$ $\| v \|=1$ es sólo $Av$, y los niveles máximos y mínimos de las normas de estos son los niveles máximos y mínimos valores singulares de a $A$, es decir, la raíz cuadrada de la máxima y la mínima autovalores de a $A^t A$. En el caso de que la dimensión es $2$ hay sólo dos autovalores, y el determinante es el producto de esos, así que bajo su suposiciones $\det A^t A = c^2$, por lo que el determinante Jacobiano es $\det A = \pm c$.