Demostrando que las raíces de un polinomio con coeficientes positivos de descendente se encuentran en el disco de la unidad.

Question

Sea un polinomio cuyos coeficientes satisfacen $P(z)=a_nz^n+\cdots+a_0$ $ $$0<a_0<a_1<\cdots<a_n.$

Quiero mostrar que las raíces de $P$ en vivo en disco de la unidad. La idea obvia es utilizar el teorema de Rouche, pero que no todo funciona aquí, al menos con la opción $f(z)=a_nz^n, g(z)=$ (el resto).

¿Alguna idea?

Answer 1

Lo que debemos hacer es mirar en cambio el polinomio $$Q(z) = (1-z)P(z) = (1-z)\left(\sum_{i=0}^n a_iz^i \right) = a_0 -a_n z^{n+1} + \sum_{i=1}^n (a_i-a_{i-1})z^i$ $ ahora, sea una raíz de $|z|>1$, $P(z)$ y por lo tanto, una raíz de $Q(z)$. Por lo tanto, tenemos $a_0 + \sum_{i=1}^n (a_i-a_{i-1})z^i = a_n z^{n+1}$, entonces tenemos\begin{aligned} |a_n z^{n+1}| &= |a_0 + \sum_{i=1}^n (a_i-a_{i-1})z^i| \\ & \le a_0 + \sum_{i=1}^n (a_i-a_{i-1})|z^i| \\ & < a_0|z^n| + \sum_{i=1}^n (a_i-a_{i-1})|z^n| \\ & = |a_n z^n|\end{alineado} una contradicción.

Para un buen artículo sobre polinomios enteros, vea aquí. (Su problema es Proposición 10)

Answer 2

Esta es una aplicaciones de Tratado - Kakeya teorema appliying este teorema de Z ^ n P(1/Z)