¿Es$\sum (n^{\frac{1}{n}}-1)^n$ divergente o convergente?

Question

Es $\sum (n^{\frac{1}{n}}-1)^n$ divergentes o convergentes?

Yo traté de seguir la idea de $k^{th}$ suma parcial de otra pregunta que me preguntó: Verificar si $\sum(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$ es convergente o divergente

$$S_k=\sum_{n=1}^k (n^\frac{1}{n}-1)^n=(1-1)+(2^\frac{1}{2}-1)^2+\dots+(k^\frac{1}{k}-1)^k$$ Sé que $k^\frac{1}{k}\rightarrow 1$ al $k\rightarrow \infty$ y, a continuación,$(k^\frac{1}{k}-1)^k\rightarrow 0$. Así que tengo una infinita suma de pequeñas términos, lo que me hace pensar que esta serie es divergente. Ya que una suma de infinitos términos más grande que $0$ es infinito

$$\lim S_k= \infty$$

Answer 1

Como$n^{\frac{1}{n}}\geq 1$ para$n\geq 1$, existe algún$\lim_{n\to\infty}n^{\frac{1}{n}}=1$ tal que$N$ $ para todos$$ 1\leq n^{\frac{1}{n}}\leq \frac{3}{2} $ % #%, Pero esto no es tan importante.)

Por lo tanto,$n\geq N$ $ para todos$N=1$, por lo que su serie converge en comparación con$$ 0\leq (n^{\frac{1}{n}}-1)^n\leq \Big(\frac{3}{2}-1\Big)^n=2^{-n}$.

Answer 2

Es difícil seguir su línea de razonamiento. Nosotros no podemos decir que "debido a que $(k^{1/k} - 1)^k \to 0$, la serie es divergente". De hecho, para que la serie sea convergente (opuesto divergente), se debe tener $(k^{1/k} - 1)^k \to 0$.

Para esta serie, la raíz de la prueba es particularmente útil: $$ \lim_{n \to \infty}[(n^{1/n} - 1)^n]^{1/n} = \lim_{n \to \infty}(n^{1/n} - 1) = 0 < 1 $$ Llegamos a la conclusión de que la serie debe converger.

Answer 3

Dejar $0<\varepsilon <1$. Dado que$\lim_{n\to \infty}n^{1/n}=1$, como usted ha indicado, tenemos$\lim_{n\to \infty} n^{1/n}-1=0$, por lo que existe$N\in \mathbb N$ tal que siempre$n>N$ tenemos$0<n^{1/n}-1<\varepsilon$. Por lo tanto, para tal$n$, tenemos$0<(n^{1/n}-1)^n<\varepsilon^n$. Por consiguiente, mediante el test de comparación, dado que$$\sum_{k=1}^\infty \varepsilon^k$ $ converge, también lo hace la suma original.

No es el caso que la suma de un número infinito de términos positivos sea infinita. Por ejemplo,$$\frac 1 2+\frac 1 4+\frac 1 8 +... = 1$ $