¿Puede la suma de los n primeros cuadrados de números primos ser un cuadrado perfecto?

Question

Hasta ahora, todo lo que he encontrado es para $n=1$ cuyo cuadrado es 4. (Bastante trivial)

Para contextualizar, hace poco vi el vídeo de Numberphile Cuadrados .

Básicamente, un cuadrado integral es un cuadrado que está formado en su totalidad por otros cuadrados integrales (preferiblemente todos de distintos tamaños). Quería ver si existe un cuadrado formado por $n$ cuadrados que se compone enteramente de cuadrados con las longitudes laterales de todos los primos hasta el $n$ el primero.

Encontrando un ejemplo que satisfaga la pregunta, se demostrará que existe al menos la posibilidad para una de estas plazas existentes. Si se puede demostrar que no hay más ejemplos que $n=1$ se deduce que no existe ningún cuadrado con condiciones.

Answer 1

No hay otros hasta $n= 10^6$ . Sospecho firmemente que no hay ninguno. La suma del primer $n$ cuadrados de primos es del orden de $n^3 \log^2(n)$ y heurísticamente la probabilidad de que sea un cuadrado es del orden de $n^{-3/2} \log(n)^{-1}$ . La serie $\sum_n n^{-3/2}/\log(n)$ converge, por lo que deberíamos esperar encontrar sólo finitamente muchos cuadrados. Esto no es una prueba, pero junto con la evidencia empírica es muy sugerente.

EDIT: He aquí un programa de Maple que utiliza todos los primos $< 3 \times 10^7$ (hay $1857859$ de ellos). Aún no se han encontrado más.

P:=select(isprime, [2,seq(i,i=3..3*10^7,2)]):
S:= ListTools:-PartialSums(map(t -> t^2, P)):
select(t -> issqr(S[t]), [$1..nops(S)]);

$$ [1] $$

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P.D. Por cierto, si usas los primos $p_n$ en lugar de cuadrados de primos, entonces las soluciones a,

$$\sum_{n=1}^k p_n = s^2$$

son secuencias OEIS A033997 (para $k$ ) y A061888 (para $s$ ) el mayor conocido hasta ahora es,

$$\sum_{n=1}^{126789311423} p_n = 468726713734^2$$

pero que probablemente sea infinita.