¿$\mathrm{adj}(A)=\mathrm{adj}(B)$ Implica$A=B$?

Question

Si$A$ y$B$ son dos matrices cuadradas del mismo orden y si$\mathrm{adj}(A)=\mathrm{adj}(B)$, ¿implica$A=B$?

Estoy bastante seguro de si$A$ y$B$ son invertibles y si$A^{-1}=B^{-1}$, entonces$A=B$.

Entonces, ¿es cierto para Adjoint?

Answer 1

No.

La matriz adjugada es básicamente la potencia de cuña$\wedge^{n-1} A$ if$n$ es la dimensión del espacio vectorial subyacente. Si el campo subyacente tiene raíces no triviales$(n-1)$ - th de unidad, entonces podemos multiplicar$A$ por uno de ellos sin cambiar la matriz adjugada. Además, la matriz adyacente de cualquier matriz de rango$< n-1$ será$0$.

Answer 2

No necesariamente. Está dado: $adj(A)=A^{-1}|A|=adj(B)=B^{-1}|B|$. Multiplique ambos lados por$A$, luego$B$ para obtener:$A=\frac{|A|}{|B|}B$. Esto implica: $$| A | = \ left (\ frac {| A |} {| B |} \ right) ^ n | B | \ Rightarrow \ left (\ frac {| A |} {| B |} \ right) ^ {n-1} = 1 \ Rightarrow \begin{cases} |A|=|B|, \ \ \ \ \ if \ n \ is \ even \\ |A|=\pm|B|, \ \ if \ n \ is \ odd \end {cases}.$$

Answer 3

En efecto

Si$A^{-1}=B^{-1}$ entonces$AA^{-1}B=AB^{-1}B$ ie$B=A$.

Si$A,B$ no son invertibles entonces$\det(A)=\det(B)=0$ y$\text{adj}(A)A=\det(A)I=0$ y$\text{adj}(B)B=\det(B)I=0$.

Esto se puede satisfacer sin$A=B$.

Por lo tanto, los contraejemplos para el supuesto teorema son, por ejemplo

Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

Aquí por supuesto$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ \end{bmatrix}$.