¿Cuál es el número mínimo de triángulos rectángulos distintos necesarios para embaldosar un cuadrado unitario? Sospecho que no se puede hacer en menos de cuatro, así que aquí están las soluciones para $4$ triángulos hasta ahora:
Definir un cuadrado unitario $ABCD$ ; entonces las tres construcciones distintas hasta ahora son:
-
Unir dos esquinas opuestas ( $\overline{AC}$ ), y coloque un quinto punto ( $E$ ) en cualquier parte de algún lado ( $\overline{BC}$ ) del cuadrado. Conecta el quinto punto con el resto de puntos disponibles ( $A$ ) y dibujar una línea perpendicular ( $\overline{EF}$ ) desde ella hasta la línea diagonal. Ahora tiene $4$ triángulos distintos que forman el cuadrado.
-
Coloque un quinto punto ( $E$ ) en cualquier parte de algún lado ( $\overline{BC}$ ) del cuadrado excepto en el punto medio ( $P$ ) de ese lado. Conéctalo con los dos puntos del lado opuesto ( $\overline{DA}$ ) y dibujar una línea perpendicular ( $\overline{DF}$ o $\overline{AF}$ ) desde cualquiera de esos dos puntos al segmento de recta opuesto. Ahora tienes $4$ triángulos distintos que forman el cuadrado.
-
Construcción de Oscar Lanzi Desde $A$ dibujar un segmento de línea hasta un punto $E$ en cualquier lado $\overline{BC}$ . Construir la perpendicular a $\overline{AE}$ a través de $E$ que interseca el lado $\overline{CD}$ en $F$ . Termina la división dibujando $AF$ . Ahora tiene $4$ triángulos distintos que forman el cuadrado.
¿Contienen estas construcciones todas las soluciones válidas para embaldosar el cuadrado unitario con $4$ ¿triángulos rectángulos distintos? ¿O faltan otras formas?
El objetivo es encontrar todas las soluciones válidas para este sencillo problema y demostrar que no existen más.
Pero no estoy seguro de cómo se puede saber si tenemos todas las soluciones contenidas en estas construcciones hasta ahora o no.
Pregunta complementaria; ¿es posible que exista una solución entre las soluciones tal que los cuatro triángulos tengan todas las longitudes de los lados racionales?
Desde que me topé con un tweet mostrando $5$ Triples pitagóricos empaquetados en un cuadrado; Si ese cuadrado se redujera a un cuadrado unitario, tendríamos una solución con $5$ triángulos que tienen todos los lados racionales.
¿Es posible hacerlo en $4$ ?
¿Poner cuatro triángulos racionales distintos en un cuadrado unitario?
Supongo que esto se puede demostrar falso si se encontraron todas las construcciones y se demostrara que no contienen tal solución. Hasta ahora, estas tres construcciones parecen no contener tal solución, si no me equivocado.
