Edit. Un re-fraseo gracias a un comentario de abajo:
Es cierto que, para todos los $n \in \mathbb{N}$, existe un grado de $n$ polinomio $f \in \mathbb{Z}[x]$ tanto $f$ $f'$ tiene todas sus raíces distintas enteros? (Si no, ¿cuál es el mínimo de $n$ a servir como un contraejemplo?)
El ejemplo a continuación para $n = 3$ usa $f$ con raíces $\{-9, 0, 24\}$ $f'$ con raíces $\{-18, -4\}$.
(Véase también la nota al final, y el vinculado arXiv papel).
Pregunta. Para todos los $n \in \mathbb{N}$: Es posible encontrar un polinomio en $\mathbb{Z}[x]$ $n$ diferentes $x$-intercepta, y todos sus puntos de inflexión, en el entramado de puntos?
Esto es claramente cierto al$n = 1$$n = 2$. Un poco de investigación en torno a $n = 3$ lleva a que, por ejemplo, el polinomio definido por:
$$f(x) = x^3 + 33x^2 + 216x = x(x+9)(x+24)$$
que ha $x$-intercepta en $(0,0)$, $(-9, 0)$, y $(-24, 0)$. Tomando la derivada, nos encontramos con que:
$$f'(x) = 3x^2 + 66x + 216 = 3(x+4)(x+18)$$
de modo que los puntos de inflexión de $f$ ocurren en$(-4, -400)$$(-18, 972)$.
Ni siquiera estoy seguro de si esto es cierto en la cuártica${^1}$ de los casos; sin embargo, esta pregunta se refiere a la más generales de configuración. En particular, es verdadera para todos los $n \in \mathbb{N}$ y si no, entonces ¿cuál es el mínimo de $n$ para los que no es posible?
$1$. Se Jagy amablemente resuelve $n=4$ desde el monic cuártica $f$ con el entero de las raíces $\{-7, -1, 1, 7\}$ conduce a una $f'$ con raíces $\{-5, 0, 5\}$. Este ejemplo también se encuentra como B5 en el papel aquí (PDF 22/24). El mismo papel tiene el cúbicos ejemplo de arriba, B1, e incluye un quintic ejemplo como B7:
$$f(x) = x(x-180)(x-285)(x-460)(x-780)$$
$$\text{ and }$$
$$f'(x) = 5(x-60)(x-230)(x-390)(x-684)$$
Los enlaces arXiv (inédito) manuscrito parece sugerir que este problema está abierta.
