¿Esta serie es divergente? ¿Si no, lo que ' s la suma?

Question

La serie en cuestión:

$$\frac{5}{7^2+11^2} + \frac{9}{11^2+15^2} + \frac{13}{15^2+19^2} + \dots$$

O en una forma concisa:

$$\sum_{i=1}^\infty {\frac{4i+1}{(4i+3)^2+(4i+7)^2}}$$

Traté de resolver, y encontrar una forma cerrada de la anterior suma, pero no tiene suerte. El denominador no podía ser factorised y descompuesto y no podía transformar la serie en un telescópica uno para resolverlo.

Le pregunté a mi profesor de matemáticas y miró a la serie en cuestión por un tiempo, y lo declaró como un divergentes, por lo que no puede ser resuelto. Miró inseguro.

Fue la derecha? Es una divergente la serie? Si no, ¿cómo puedo resolver el problema, si puedo? Gracias!

Answer 1

Heurísticamente, el sumando es el cociente de un polinomio lineal a un polinomio cuadrático, y así crece del mismo modo la serie $\sum_{i=1}^\infty \frac 1 i$, que diverge. Esto nos indica que la suma original también diverge. Para mostrar esto, cuenta que suficientemente grande $i$ ($i>80$, para ser exactos) tenemos $$\frac{4i+1}{(4i+3)^2+(4i+7)^2} = \frac{4i+1}{32i^2+80i+58} \geq \frac{4i}{33i^2} = \frac{4}{33}\frac 1 i$ $ ahora puede utilizar la prueba de comparación.