Esta respuesta está dedicada a la conexión entre grupos conmutativos y álgebra lineal . Se centra especialmente en el vínculo entre exponente y polinomio mínimo de un endomorfismo, como el cartel original encuentra útil para conectar las nociones entre ellos.
Definición. Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo con unidad, entonces a $R$ -es un triple $(M,+,\cdot)$ , donde $(M,+)$ es un grupo conmutativo y $\cdot\colon R\times M\rightarrow M$ es tal que se cumplen las siguientes propiedades: $$\begin{align}r\cdot(x+y)&=r\cdot x+r\cdot y\\(r+s)\cdot x&=r\cdot x+s\cdot x\\(rs)\cdot x&=r\cdot (s\cdot x)\\1\cdot x&=x\end{align}$$
Observación. Los módulos sobre un campo son exactamente espacios vectoriales sobre este campo, de modo que la noción de módulo es una generalización de los espacios vectoriales a los anillos.
Observación. El $\mathbb{Z}$ -son exactamente grupos conmutativos.
Prueba. La implicación directa se desprende de la definición.
Dejemos que $(G,+)$ sea un grupo conmutativo y definamos $\cdot\colon\mathbb{Z}\times G\rightarrow G$ por: $$0\cdot g:=0_G,n\cdot g:=(n-1)\cdot g+g,(-n)\cdot g:=n\cdot(-g).$$ Entonces, $(G,+,\cdot)$ es un $\mathbb{Z}$ -módulo. $\Box$
Observación. Dejemos que $k$ sea un campo, entonces $k[T]$ -módulo son exactamente los $k$ -espacios vectoriales dotados de un endomorfismo.
Prueba. Dejemos que $(M,+,\cdot)$ ser un $k[T]$ -módulo, entonces note que por restricción, $(M,+,\cdot_{\vert k\times M})$ es un $k$ -espacio vectorial. Además, $\varphi\colon M\rightarrow M$ definido por: $$\varphi(m):=T\cdot m$$ es un endomorfismo de $M$ .
A la inversa, dejemos que $(E,+,\cdot)$ sea un espacio vectorial y $\varphi\in\textrm{End}(E)$ , entonces definamos $\star\colon k[T]\times E\rightarrow E$ por: $$f\star x:=f(\varphi)(x).$$ Entonces, $(E,+,\star)$ es un $k[T]$ -espacio vectorial. $\Box$
Definición. Dejemos que $M$ ser un $R$ -módulo, entonces $M$ está generada finitamente si y sólo si existe un número finito de elementos $x_1,\ldots,x_n$ de $M$ tal que: $$M=\bigoplus_{k=1}^nRx_k:=\left\{\sum_{k=1}^nr_kx_k;r_k\in R\right\}.$$
Observación. Respectivamente, esto extiende la noción de grupos conmutativos finitamente generados y espacios vectoriales finitamente dimensionales.
Teorema. Dejemos que $R$ sea un dominio ideal principal y $M$ sea una entidad finitamente generada $R$ -entonces existe $d_1\vert\cdots\vert d_n$ elementos de $R\setminus R^\times$ tal que: $$M=\bigoplus_{k=1}^nM/(d_k).$$ Además, el $d_k$ son únicas hasta la multiplicación por una unidad de $R$ .
Prueba. Véase el capítulo correspondiente en Álgebra básica I por N. Jacobson. $\Box$
Observación. Este teorema da la estructura del grupo conmutativo finitamente generado como una suma directa de grupos cíclicos y la Descomposición de Frobenius .
Finamente, aquí está la conexión que reclamé:
En el caso de $R=\mathbb{Z}$ el mínimo común múltiplo del $d_k$ en el teorema conduce a la noción de exponente de un grupo conmutativo y para $R=k[T]$ al polinomio mínimo de un endomorfismo.
En cierto sentido, todo teorema sobre el exponente de un grupo conmutativo puede transponerse en el mundo del álgebra lineal a través del polinomio mínimo. Aquí hay algunos ejemplos, en particular, verá cómo el polinomio mínimo ofrece información sobre la transformación lineal:
Propuesta. Dejemos que $G$ sea un grupo abeliano finito, entonces $G$ es cíclico si y sólo si su orden es igual a su exponente.
Propuesta. Dejemos que $E$ ser un $n$ -y el espacio vectorial $\varphi\in\textrm{End}(E)$ entonces existe $x\in E$ tal que $$\left\{x,\varphi(x),\cdots,\varphi^{n-1}(x)\right\}$$ es una base de $E$ si y sólo si el polinomio mínimo de $\varphi$ es igual a su polinomio característico.
Observación. En el caso $R=\mathbb{Z}$ el producto de la $d_k$ en el teorema es igual al orden del grupo y para $R=k[T]$ al polinomio característico.
Propuesta. Dejemos que $G$ sea un grupo de orden primo, entonces $G$ es un grupo simple .
Propuesta. Dejemos que $E$ ser un $n$ -y el espacio vectorial $\varphi\in\textrm{End}(E)$ si el polinomio mínimo de $\varphi$ es irreducible, entonces $\{0\}$ y $E$ son los únicos $\varphi$ -espacios subvariantes de $E$ .
