¿Cuáles son algunas conexiones significativas entre el polinomio mínimo y otros conceptos del álgebra lineal?

Question

He descubierto que la manera más eficaz de comprender profundamente los conceptos matemáticos es conectarlos con tantos otros conceptos como pueda. Por desgracia, no veo en absoluto la importancia ni la relevancia del polinomio mínimo. ¿Hay alguna conexión significativa entre el polinomio mínimo y el álgebra lineal? En particular, en lo que respecta a la relación entre el polinomio mínimo de un operador lineal en un espacio vectorial y otras propiedades de ese operador?

Creo que el problema se debe, en parte, a que mi libro de texto hace hincapié en elaborar el mayor número posible de teoremas sobre un concepto, en lugar de explicarlo en profundidad y demostrar su importancia. Pero en parte se debe también a que este concepto no se me da bien. Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Esta respuesta está dedicada a la conexión entre grupos conmutativos y álgebra lineal . Se centra especialmente en el vínculo entre exponente y polinomio mínimo de un endomorfismo, como el cartel original encuentra útil para conectar las nociones entre ellos.

Definición. Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo con unidad, entonces a $R$ -es un triple $(M,+,\cdot)$ , donde $(M,+)$ es un grupo conmutativo y $\cdot\colon R\times M\rightarrow M$ es tal que se cumplen las siguientes propiedades: $$\begin{align}r\cdot(x+y)&=r\cdot x+r\cdot y\\(r+s)\cdot x&=r\cdot x+s\cdot x\\(rs)\cdot x&=r\cdot (s\cdot x)\\1\cdot x&=x\end{align}$$

Observación. Los módulos sobre un campo son exactamente espacios vectoriales sobre este campo, de modo que la noción de módulo es una generalización de los espacios vectoriales a los anillos.

Observación. El $\mathbb{Z}$ -son exactamente grupos conmutativos.

Prueba. La implicación directa se desprende de la definición.

Dejemos que $(G,+)$ sea un grupo conmutativo y definamos $\cdot\colon\mathbb{Z}\times G\rightarrow G$ por: $$0\cdot g:=0_G,n\cdot g:=(n-1)\cdot g+g,(-n)\cdot g:=n\cdot(-g).$$ Entonces, $(G,+,\cdot)$ es un $\mathbb{Z}$ -módulo. $\Box$

Observación. Dejemos que $k$ sea un campo, entonces $k[T]$ -módulo son exactamente los $k$ -espacios vectoriales dotados de un endomorfismo.

Prueba. Dejemos que $(M,+,\cdot)$ ser un $k[T]$ -módulo, entonces note que por restricción, $(M,+,\cdot_{\vert k\times M})$ es un $k$ -espacio vectorial. Además, $\varphi\colon M\rightarrow M$ definido por: $$\varphi(m):=T\cdot m$$ es un endomorfismo de $M$ .

A la inversa, dejemos que $(E,+,\cdot)$ sea un espacio vectorial y $\varphi\in\textrm{End}(E)$ , entonces definamos $\star\colon k[T]\times E\rightarrow E$ por: $$f\star x:=f(\varphi)(x).$$ Entonces, $(E,+,\star)$ es un $k[T]$ -espacio vectorial. $\Box$

Definición. Dejemos que $M$ ser un $R$ -módulo, entonces $M$ está generada finitamente si y sólo si existe un número finito de elementos $x_1,\ldots,x_n$ de $M$ tal que: $$M=\bigoplus_{k=1}^nRx_k:=\left\{\sum_{k=1}^nr_kx_k;r_k\in R\right\}.$$

Observación. Respectivamente, esto extiende la noción de grupos conmutativos finitamente generados y espacios vectoriales finitamente dimensionales.

Teorema. Dejemos que $R$ sea un dominio ideal principal y $M$ sea una entidad finitamente generada $R$ -entonces existe $d_1\vert\cdots\vert d_n$ elementos de $R\setminus R^\times$ tal que: $$M=\bigoplus_{k=1}^nM/(d_k).$$ Además, el $d_k$ son únicas hasta la multiplicación por una unidad de $R$ .

Prueba. Véase el capítulo correspondiente en Álgebra básica I por N. Jacobson. $\Box$

Observación. Este teorema da la estructura del grupo conmutativo finitamente generado como una suma directa de grupos cíclicos y la Descomposición de Frobenius .

Finamente, aquí está la conexión que reclamé:

En el caso de $R=\mathbb{Z}$ el mínimo común múltiplo del $d_k$ en el teorema conduce a la noción de exponente de un grupo conmutativo y para $R=k[T]$ al polinomio mínimo de un endomorfismo.

En cierto sentido, todo teorema sobre el exponente de un grupo conmutativo puede transponerse en el mundo del álgebra lineal a través del polinomio mínimo. Aquí hay algunos ejemplos, en particular, verá cómo el polinomio mínimo ofrece información sobre la transformación lineal:

Propuesta. Dejemos que $G$ sea un grupo abeliano finito, entonces $G$ es cíclico si y sólo si su orden es igual a su exponente.

Propuesta. Dejemos que $E$ ser un $n$ -y el espacio vectorial $\varphi\in\textrm{End}(E)$ entonces existe $x\in E$ tal que $$\left\{x,\varphi(x),\cdots,\varphi^{n-1}(x)\right\}$$ es una base de $E$ si y sólo si el polinomio mínimo de $\varphi$ es igual a su polinomio característico.

Observación. En el caso $R=\mathbb{Z}$ el producto de la $d_k$ en el teorema es igual al orden del grupo y para $R=k[T]$ al polinomio característico.

Propuesta. Dejemos que $G$ sea un grupo de orden primo, entonces $G$ es un grupo simple .

Propuesta. Dejemos que $E$ ser un $n$ -y el espacio vectorial $\varphi\in\textrm{End}(E)$ si el polinomio mínimo de $\varphi$ es irreducible, entonces $\{0\}$ y $E$ son los únicos $\varphi$ -espacios subvariantes de $E$ .

Answer 2

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo $F$ .

Si un polinomio $f \in F[X]$ es el producto $g_1 \cdots g_m$ de polinomios coprimos, entonces $$\ker f(T) = \ker g_1(T) \oplus \cdots \oplus \ker g_m(T)$$ Cuando $f(T)=0$ tenemos $\ker f(T)=V$ y una descomposición de $V$ en subespacios invariantes. Esta es una herramienta importante para entender $T$ .

Es natural considerar lo más sencillo $f$ tal que $f(T)=0$ . Este es el polinomio mínimo.

Mediante el factoring $f$ en polinomios irreducibles, obtenemos el teorema de la descomposición primaria.

Cuando $f$ se divide en factores lineales (lo que ocurre, por ejemplo, cuando $F$ es algebraicamente cerrado), obtenemos una descomposición en eigenspaces generalizados, que nos lleva a la forma canónica de Jordan.

Por tanto, existe una estrecha relación entre los polinomios y las transformaciones lineales. Sorprendentemente, esta conexión depende de las propiedades aritméticas del campo $F$ , que en la mayor parte del álgebra lineal no interviene realmente, hasta que se llega a los teoremas de descomposición.

Answer 3

Aquí hay uno. Las dos condiciones siguientes son equivalentes:

(I) el polinomio característico del cuadrado ( $n$ por $n$ ) matriz $A$ y el polinomio mínimo son los mismos

(II) las únicas matrices que conmutan con $A$ son de la forma $$a_0 I + a_1 A + a_2 A^2 + \cdots + a_{n-1} A^{n-1}$$

El conjunto de matrices de (II) constituye un espacio vectorial de dimensión $n.$ El conjunto de todas las matrices (como conmutar con $I$ ) es de dimensión $n^2,$ mucho más grande