Encuentre $S = \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b}$ si los valores de $a+b+c$ y $\frac1{a+b}+\frac1{b+c}+\frac1{a+c}$ se dan

Question

Acabo de encontrarme con una pregunta del concurso de matemáticas de la olimpiada de la ciudad del año pasado:

Pregunta : Para los números reales $a,b,c$ tal que: $a+b+c = 6, \dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c} + \dfrac{1}{c+a} = \dfrac{47}{60}$ , hallar el valor de $S = \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a} + \dfrac{c}{a+b}$ .

Como acabo de verlo en un foro en línea "en otro lugar", pensé que querría escuchar a otros miembros más hábiles y experimentados de MSE sobre sus tácticas y enfoques para la solución de esta interesante cuestión.

Answer 1

Multiplicar las expresiones dadas entre sí:

\begin{align} \frac{47}{10} &= (a+b+c)\bigg(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\bigg) \\ \\ &= \frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a} \\ \\ &=3+\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a} \\ \\ \end{align}

$$\Longrightarrow \frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a} = \frac{17}{10}$$

Answer 2

$$a+b+c=6\tag{1}$$

$$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=\frac{47}{60}\tag{2}$$

$$S = \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$$

$S = \left(\frac{a+b+c}{b+c}-1\right)+\left(\frac{a+b+c}{c+a}-1\right)+\left(\frac{a+b+c}{a+b}-1\right) =6\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)-3=6\cdot\frac{47}{60}-3$

$S =\frac{47}{10}-3 =\frac{17}{10}$

Answer 3

Una pista: $$\frac{a+b+c}{b+c}=1+\frac{a}{b+c}$$

Answer 4

Una pista: $$\frac{a}{b+c}=\frac{a+b+c}{b+c}-1.$$

Answer 5

Aunque la respuesta de Joshua es probablemente la solución más elegante, permíteme ofrecerte una forma alternativa de resolverla, que es mediante la simplificación por valores arbitrarios.

Tienes tres incógnitas y sólo dos ecuaciones. Esto te permite deshacerte de una variable, por ejemplo, c = 0. (Ten en cuenta que sólo una puede ser cero).

Por lo tanto, el problema se puede reescribir como

1) $a + b = 6$

2) $\dfrac{1}{a + b} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{a + b} + \dfrac{a + b}{ab} = \dfrac{47}{60}$

$S = \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} = \dfrac{a^2 + b^2}{ab} = \dfrac{(a + b)^2 - 2ab}{ab}$ .

En este punto, es evidente que se pueden encontrar los dos valores de $a$ y $b$ (molesto) o engañar un poco más.

Sustituyendo $x = a + b$ y $y = ab$ tenemos el problema perfectamente equivalente

1) $x = 6$

2) $\dfrac{1}{x} + \dfrac{x}{y} = \dfrac{47}{60}$

$S = \dfrac{x^2 - 2y}{y}$ .

Sustituyendo la primera ecuación por la segunda, obtenemos $\dfrac{6}{y} = \dfrac{47}{60} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{37}{60}$ y $y = \dfrac{10\cdot6^2}{37}$ .

Finalmente, $S = \dfrac{x^2 - 2y}{y} = \left(6^2-2\cdot\dfrac{10\cdot6^2}{37}\right)\dfrac{37}{10\cdot6^2} = \left(1-\dfrac{20}{37}\right)\dfrac{37}{10} = \dfrac{37-20}{37} \cdot \dfrac{37}{10} = \dfrac{17}{10}$ .

Respuesta $S = \dfrac{17}{10}$ .