Tengo una breve pregunta:
¿Tiene la categoría de haces casi coherentes en un esquema de productos arbitrarios? Sé que no lo hace si el esquema es afín y sé que no serán isomorfos al producto como $\mathcal{O}_{X}$ módulos, pero no he podido encontrar un contraejemplo.
¡Cualquier ayuda se agradece!
Esto ya fue discutido aquí:
http://mathoverflow.net/questions/39941/does-qcohx-admit-a-generating-set
http://mathoverflow.net/questions/40587/quasi-coherent-envelope-of-a-module
Cabe señalar que el infinito de los productos en las categorías de cuasi coherente de las poleas no están bien atendidos en todo. Por ejemplo, no son compatibles con mapas de restricción de bloques abiertos. Si bien es cierto que esta categoría es presentable, no creo que esto va a ser muy útil para los sistemas que no están concentrados.
Yo no sé acerca de la respuesta en completar la generalidad, pero es cierto para los cuasi-compacto y cuasi-separados de los programas (pero vea el añadido bits y la actualización de abajo).
El punto principal aquí es que bajo estos supuestos, cada cuasi coherente gavilla es (filtrada) colimit de su $\text{sub-}\mathcal{O}_{X}\text{-modules}$ finitos tipo. Entonces, uno puede mostrar que el finitely presentó $\mathcal{O}_{X}\text{-modules}$ son un conjunto de generadores. El uso de este, y el hecho general de que la inclusión functor de cuasi coherente poleas en todas las poleas conserva y refleja la exactitud y el infinito directa sumas (de ahí todos los colimits), un lugar sencillo de la aplicación de la especial adjunto functor teorema de exposiciones de la cuasi coherente poleas como un reflejo de la subcategoría de todas las poleas. Esto implica que el cuasi-coherente con poleas de más de un cuasi-compacto cuasi-separados esquema de un Grothendieck abelian categoría (completa, cocomplete, filtrada colimits son exactas, y hay un conjunto de generadores). En particular, hay suficiente injectives.
Para más detalles, véase el Apéndice B: Módulos vs Cuasi coherente de los módulos (en particular, B. 2, B. 3 y B. 12) en las páginas 409ff de Thomason-Trobaugh, Mayor Algebraicas $K$-teoría de los Esquemas y de Categorías Derivadas, La Grothendieck Festschrift, Vol. III, 247-435, el Progreso en Matemáticas, 88, Birkhäuser de Boston, Boston, MA, 1990, MR 1106918. Usted encontrará referencias precisas a EGA y SGA en allí, así que debería ser suficiente.
En B. 2 Thomason observaciones que parecía ser desconocido en ese momento si la categoría de cuasi-coherente con poleas de más de un esquema general tiene todos los límites (o un conjunto de generadores, o lo suficiente injectives). Dado que la existencia de arbitrario productos daría límites gratis, dudo que usted puede empujar el sobre mucho más.
Añadido: El reflector de poleas coherente de las poleas (es decir, el derecho medico adjunto a la inclusión) tiene muchos muy agradable propiedades formales y se llama coherator. Juega un papel central en el papel de Thomason-Trobaugh.
Hacia el final del apéndice B Thomason hace varias observaciones de cómo se puede utilizar o modificar los argumentos anteriores para recuperar relacionados con los resultados en Hartshorne de Residuos y la Dualidad de lo anterior el uso adecuado supuestos como local noetherian, finito dimensión de Krull y cohomological finitud presunciones en el derecho derivado functor de la coherator.
Agregado: Como Akhil señala en un comentario más abajo, de acuerdo a Brian Conrad, Grothendieck la dualidad y de cambio de base, Lema 2.1.7 en la p. 28 (en la versión publicada en el B. C. de la página de inicio), Ofer Gabber demostrado que, en realidad, es un conjunto de generadores en cualquier esquema. Esto le da la categoría de cuasi-coherente de los planes de Grothendieck abelian sin ningún tipo de restricciones. Desafortunadamente, no hay mucha información de cómo esto está demostrado.
Actualización: me acabo de enterar sobre Akhil Mathew blog en el que Akhil da su propia cuenta de los argumentos que aquí se describen. Mientras estás ahí, por favor, eche un vistazo a su alrededor y disfrutar de algunas de las más hermosas de otros cargos que se acumula allí: "Escalar el Monte Bourbaki, Pensamientos sobre las matemáticas". Altamente recomendable la lectura.
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