El doble de la suma que usted está preguntando acerca de puede ser considerada como la suma de todos los términos de la variedad infinita de los números de $a_{ij}$:
$$\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1j} & \cdots\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2j} & \cdots\\
\vdots& \vdots & &\vdots\\
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{ij} & \cdots\\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\end{pmatrix},$$
donde la suma se toma con el orden particular de la primera adición de todos los elementos de las filas en particular y, a continuación, agregar el resultado "de la fila de totales". El resultado que usted está citando afirma que si todos los $a_{ij}$ es no negativa, entonces no importa el orden en que usted agregue las entradas del infinito de la matriz, se que las filas primera y, a continuación, los totales de fila o columnas primera y, a continuación, la columna de totales.
No puedo decir que su interpretación está justo en la marca, porque el problema es que aunque uno agrega las entradas de la misma variedad infinita, el orden de la suma puede resultar en un resumen de los términos de series diferentes en la actualidad. Como las otras respuestas señalar que este resultado se da básicamente porque no tenemos términos de disminución de la suma total. Diciendo: "tanto este sumas iteradas son reordenamientos de la misma serie y, por tanto, convergen en el mismo valor, o divergen hasta el infinito" realmente no hace ningún énfasis en esta ventaja, que yo creo que es barrida bajo la frase "de la misma serie".
Me gustaría mencionar otro (medida teórica) la interpretación de este resultado, que hace poco me encontré en Rudin del Real y el Análisis Complejo (p. 23). En el libro Rudin da este resultado como un corolario de Lebesgue Monotono Teorema de Convergencia aplicado a la serie de funciones.
Teorema: Vamos a $X$ ser una medida en el espacio. Si $\forall n: f_n:X\to [0,\infty]$ es medible, entonces
$$\int_X \sum_n f_n d\mu= \sum_n \int_X f_n d\mu (\ast).$$
Corolario: Vamos a $X:=\{x_1,x_2,...,x_n,...\}$ ser una contables conjunto y $\mu:\mathcal{M}_X:=\mathcal{P}(X)\to[0,\infty]$ ser el recuento de medida:
$$\mu(E):=
\begin{cases}
|E|&, \mbox{ if} |E|<\infty\\
\infty&, \mbox{ if} |E|=\infty
\end{casos}.
$$
Si $\forall i,j:a_{ij}\geq0$, luego
$$\sum_i \sum_j a_{ij}=\sum_j \sum_i a_{ij}.$$
Prueba:
- Set $\forall j: f_j:X\to[0,\infty], f_j(x):=\sum_i a_{ij}\chi_{\{x_i\}}(x)$; y $\forall i: \bar{f_i}:X\to[0,\infty], \bar{f_i}(x):=\sum_j a_{ij}\chi_{\{x_i\}}(x).$$\sum_j f_j=\sum_i \bar{f_i}$. De hecho, vamos a $x_{i_0}\in X$. Entonces
$$\sum_j f_j(x_{i_0})= \sum_j \sum_i a_{ij} \chi_{\{x_i\}}(x_{i_0})= \sum_j a_{{i_0}j},$$
y
$$\sum_i \bar{f_i}(x_{i_0})=\bar{f_{i_0}}(x_{i_0})=\sum_j a_{{i_0}j}.$$
- Observar que el (interior) de la suma de $i$ es la integral de la $f_j$ y el (interior) de la suma de $j$ es la integral de la $\bar{f_i}$. Entonces tenemos:
$$\sum_j\sum_i a_{ij}= \sum_j \int_X f_j d\mu\stackrel{(\ast)}{=}\int_X \sum_j f_j d\mu=\int_X \sum_i \bar{f_i}d\mu\stackrel{(\ast)}{=}\sum_i\int_X\bar{f_i}d\mu =\sum_i \sum_j a_{ij}.$$
Ahora considere la posibilidad de la interpretación inducida por el anterior discurso, viz., el (contables) combinaciones de características de comportamiento de las funciones de tal manera que uno puede concentrarse no negativo "pesos" de puntos individuales. En la anterior prueba de $f_j$ pone un solo peso en cada punto, mientras que $\bar{f_i}$ se concentra todo el peso del punto de $x_i$.
