Computación

Question

Este es un problema que he visto en Internet. Me gustaría algunos consejos para resolverlo.

Deje $B$ ser una pelota en $\mathbb{R}^2$. Dado $(x,y)\in B$, considere el círculo de radio $t>0$ y el centro de la $(x,y)$. Deje $l(t,x,y)$ ser la longitud del arco de círculo que está fuera de $B$. Encontrar $$\lim_{t\rightarrow0}\int_B \frac{l(t,x,y)}{t^2}d(x,y).$$

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Aquí está una foto: en negro la frontera de la Bola de $B$. En $\color{red}{\text{red}}$ (+ azul) el círculo considerado (centrado en algunos de los $x,y$ radio $t$). En $\color{blue}{\text{blue}}$ el arco cuya longitud se define a ser $l(t,x,y)$

Answer 1

Actualización

El límite en cuestión es $4\pi R$ donde $R$ denota el radio de los discos grandes. Aquí es una solución rápida:

Fijo $t\ll R$ toda la acción está en la estrecha zona $A:=\{(x,y)\>|\>R-t\leq\sqrt{x^2+y^2}\leq R\}$ inmediatamente adyacente a la frontera del círculo de $\partial B$. Además, los pequeños círculos de radio $t$ no puede "sentir" la curvatura de la enorme círculo $\partial B$. Por lo tanto, podemos modelo de $\partial B$ $y$- eje modulo $2\pi R$ y dejar la tira de $A'\colon \>0\leq x\leq t$ modelo del anillo $A$. Entonces se ha $$\ell(t,x,y)=2 t\,\phi= 2 t\>\arccos{x\over t}\qquad(0\leq x\leq t)$$ y por lo tanto $$\int_{A'}\ell(t,x,y)\>{\rm d}(x,y)=2\pi R\cdot 2 t\int_0^t\arccos{x\over t}\>dx=4\pi R t^2\int_0^1\arccos\tau\>d\tau=4\pi R t^2\ .$$ Esto demuestra la reclamación. El argumento muestra que el límite en cuestión es $2L$ para cualquier curva suave de la longitud de la $L$.

Estoy anexando el original de la solución, que funciona con el "real" $B$:

Suponga que el radio de la unidad big disk $B$$1$, y fijar un positivo $t\ll1$. Para un punto de $(x,y)\in B$ $\sqrt{x^2+y^2}=:r$ de la longitud $\ell(t,x,y)$ está dado por $\ell(t,x,y)=2t\phi$, según el cual los datos involucrados están relacionados por $$r^2+t^2+2rt\cos\phi=1\ .$$ Consideramos $\phi$ como variable principal. Entonces $$r(\phi)=\sqrt{1-t^2\sin^2\phi}-t\cos\phi\ .$$ Los correspondientes intervalos de $0\leq\phi\leq{\pi\over2}+\arcsin{t\over2}$ y, en consecuencia, $1-t\leq r(\phi)\leq1$ (dibuja una figura!). De ello se sigue que $$\int_B\ell(t,x,y)\>{\rm d}(x,y)=2t\int_0^{\pi/2+\arcsin(t/2)}\phi\>2\pi r(\phi)r'(\phi)\>d\phi\ .$$ Expansión con respecto a $t$ Mathematica calcula $$r(\phi)=1+?t,\qquad r'(\phi)=t(\sin\phi+?t)\ .$$ De ello se sigue que $$\int_B\ell(t,x,y)\>{\rm d}(x,y)=4\pi t^2\left(\int_0^{\pi/2}\phi\sin\phi\>d\phi+?t\right)=4\pi t^2(1+?t)\ ,$$ de ahí el reclamo.

(Escribo $?t^k$ para el resto de los términos de Mathematica abrevia con $O[t]^k$.)

Answer 2

Sólo el comienzo, para demostrar que el límite en cuestión es positivo, si existe. Para mayor comodidad trabajaré en $B=B(0,1).$ deje que $t>0,$ $t$ pequeño. Supongamos que $1-t/2< r < 1.$ % entonces $r+t > 1 +t/2$para todos eso $r.$ algunos geometría simple entonces demuestra que $l(t,r,0) > t/2$ para todos eso $r.$ de la misma manera tenemos $l(t,r\cos t,r\sin t) > t/2$ $1-t/2< r < 1$ y cualquier $t\in [0,2\pi].$ por lo tanto

$$\int_B l(t,x,y)\, dx\, dy = \int_0^{2\pi}\int_0^1 l(t,r\cos t,r\sin t) r\,dr\, dt \ge 2\pi\int_{1-t/2}^1 l(t,r\cos t,r\sin t) r\,dr \ge 2 \pi (t/2)(1-t/2)(t/2)\, dr,$$

que es del orden de $t^2.$