Cálculo $\mathbb{Q}$

Question

El desajuste entre la sensibilidad de matemática de cálculo' y la flexibilidad de 'mundo real de tornasol me molesta un poco recientemente. Lo que quiero decir es esto: en el mundo real, puedo confiar en que el cálculo funcionará si $\mathbb{R}$ es "realmente real" o no. La "continuidad", puede ser considerado como relativo a una cierta escala, y esto es suficiente para muchos propósitos. Matemáticamente por supuesto, este no es el caso. Debilitamiento incluso a $\mathbb{Q}$ causa de, digamos, el teorema del valor intermedio para fallar. Pero supongo que lo que estoy preguntando es si esto es o no es sólo un problema con el elegido definiciones involucrados, y si limpio el formalismo de que exista más la captura con precisión cómo y por qué el cálculo es tan ampliamente aplicable en problemas del mundo real. Y así llego a mis preguntas principales:

1. Si se sustituye la idea de exactamente golpear a un número (como se usa en el IVT, EVT, y MVT) con "llegar arbitrariamente cerca de ella", puede que todavía limpiamente y/o desarrollar sistemáticamente cálculo? Parece como $\mathbb{Q}$ podría apoyar algún tipo de cálculo con esto, desde tan lejos como puedo ver el conjunto '$\forall\epsilon\exists\delta$' paradigma de la izquierda está intacto. La normal contraejemplo a la formación profesional inicial en $\mathbb{Q}$ está dado por preguntar para que las raíces de $y=x^2-2$, pero esto podría ser evitado debido a la $y$ obtiene arbitrariamente cerca de a $0$. Por otra parte, restringiendo más y más pequeños intervalos donde $y$ obtiene arbitrariamente cerca de $0$ también muestran que de no ser arbitrariamente cerca de cualquier otro número "al mismo tiempo". Este podría ser considerado como continuo?
2. Hay una forma de cálculo que se ocupa de finito de error sin llegar a cargar explícita de los términos de error de alrededor (es decir, una "imprecisión del cálculo')? Como en "cualquier diferencia menor que la tolerancia $\epsilon_0$ son ignorados"? Supongo que esto es algo relacionado con nilpotent infinitesimals/dual números y la notación big O, pero ya que estas aún consideran que los números de precisión infinita que no son lo que estoy buscando. Me imagino que no hay ninguna manera de hacer esto sin entrar en el mismo feo cuestiones de números de punto flotante, pero me imagino que no se pierde nada con preguntar.

Answer 1

En general, esto es más de una pregunta sobre la epistemología de las matemáticas. Einstein respondió a esto con "tan lejos como las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son ciertas; y en cuanto que son ciertas, no se refieren a la realidad."

Pero más sobre la pregunta en sí misma: La diferencia clave es el axioma de completitud. Es decir, cualquier conjunto de números reales tiene una menor cota superior. Este no es para los racionales. Por ejemplo, el conjunto $\{x \in Q : x^2 < 2\}$ no tiene una menor cota superior en Q. Este axioma subyace (casi?) todo en análisis real.