Representación de irrationals como $\sum_{n\ge 2}\frac{x_n}{n!}$

Question

Demostrar que cada $x\in(0,1)\setminus\mathbb{Q}$ tiene una representación única como $x = \sum_{n\ge 2}\frac{x_n}{n!}$, donde $x_n\in\mathbb{Z}_n = \{0,1,2,\ldots,n-1\}$.

Probablemente esto es bien conocido, estaría agradecido de un libro o un artículo con una prueba.

Answer 1

Deje $T_n: [0,1) \to [0,1)$ ser dado por $T_n(x) = nx \pmod{1}$. También se definen $U_n(x) = T_nT_{n-1} \cdots T_2T_1(x)$. Deje $x_n = nU_{n-1}(x) - U_n(x) = nU_{n-1}(x) - T_n(U_{n-1}(x))$$n \geq 2$. Entonces, por definición de $T_n$ se sigue que $x_n \in \{0,1,2,\ldots,n-1\}$. También tenemos $$ \sum_{k=2}^n \frac{x_k}{k!} = \sum_{k=2}^n \frac{kU_{k-1}(x) - U_k(x)}{k!} = \sum_{k=2}^n \left( \frac{U_{k-1}(x)}{(k-1)!} - \frac{U_k(x)}{k!} \right) = U_1(x) - \frac{U_n(x)}{n!} $$ ya que la suma de los telescopios. Tomando el límite de $n \to \infty$ a ambos lados nos encontramos $$ \sum_{k \geq 2} \frac{x_k}{k!} = U_1(x) = x $$ debido a $\frac{U_n(x)}{n!} \to 0$ $n \to \infty$ (recordemos que $U_n(x) \in [0,1)$.). Esto demuestra que $x$ puede ser escrita en la forma deseada.

Supongamos $x$ es irracional y $x = \sum_{k \geq 2} \frac{x_k}{k!}. $ Tenemos $$ x - \frac{x_2}{2} = \sum_{k \geq 3} \frac{x_k}{k!} \leq \sum_{k \geq 3} \frac{k-1}{k!} = \sum_{k \geq 3} \left( \frac{1}{(k-1)!} - \frac{1}{k!} \right) = \frac12 $$ (una suma telescópica de nuevo). Esto significa que $x - \frac{x_2}{2} \in (0, \frac12]$ (tenga en cuenta que $0$ es imposible, ya que $x$ es irracional), por lo tanto $x_2 \in [2x-1,2x)$. Este único y determina $x_2$. De la misma manera en que uno puede mostrar que $x_3$, $x_4$, $\ldots$ se determina únicamente. Esto significa que para irracional $x$ la representación es única.