Cómo probar usando la definición que la función logarítmica es continua

Question

• No se define la función logarítmica como una integral.
• No utilice ese $e^x>x$ porque esto supone la continuidad de la exponencial.

No tengo ni idea de cómo solucionar esto.

Supongo que lo tengo, pero lo voy a dejar aquí esta cuestión en caso de que alguien más tiene el mismo problema. $|\ln x - \ln a|<\epsilon \rightarrow -\epsilon < \ln \frac x a < \epsilon$

$ae^{-\epsilon} - a < x-a < ae^{\epsilon} - a$

(por supuesto,$a>0$) tomando

$\delta = \min \{ a(1 - e^{-\epsilon}), a(e^{\epsilon} -1) \} = a(1 - e^{-\epsilon})$

hemos terminado. Supongo. Si alguien tiene otra forma de corrección por favor, muéstrame.

Las definiciones de la función logaritmo puede ser estos:

$\log : (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R} $

$ \log(x) + \log(y) = \log(xy) , \forall (x,y)$ real mayor que cero. Por supuesto, algunas de las propiedades básicas provienen de esta definición y se pueden utilizar. Pero también se puede definir como la inversa de la exponencial mientras no se use la continuidad de la inversa para demostrarlo.

Una mejor definición puede ser:

$\ln(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} n(x^{\frac 1 n} -1)$

Necesito demostrar la continuidad de la $f(x)=\log x$ $\epsilon-\delta$ a prueba de

Answer 1

Sugerencia: Dado que el logaritmo de la función satisface $$ f(xy) = f(x)+f(y) $$ para cualquier $x,y\in\mathbb{R}^+$, con el fin de demostrar la continuidad en el $\mathbb{R}^+$ usted sólo tiene que demostrar la continuidad en $1$, ya que: $$ \log(x+\varepsilon)-\log(x) = \log\left(1+\frac{\varepsilon}{x}\right).$$ Ahora la continuidad en $1$ se sigue de la desigualdad de Bernoulli: $$ \forall x\in(-1,1),\quad x+1\leq e^x \leq \frac{x}{x-1} \tag{1}$$ (demostrando $(1)$ no necesariamente depende de la continuidad de la función exponencial. Por ejemplo, podemos probar a $(1)$ cualquier $x\in(-1,1)\cap\mathbb{Q}$ por inducción) y un straightfoward consecuencia de $(1)$ es: $$ \frac{y}{1+y}\leq \log(1+y) \leq y \tag{2} $$ para cualquier $y$ en una vecindad de cero. La continuidad de la siguiente manera.