¿Por qué son importantes las funciones cuadradas en el análisis?

Question

He estado leyendo el capítulo 1 del libro de texto de E.M. Stein Análisis armónico: Métodos de variables reales, ortogonalidad e integrales oscilatorias. En el capítulo 1, Stein analiza la relación entre las integrales singulares, las funciones máximas y las funciones cuadradas. He hecho un curso de introducción al análisis armónico y, por tanto, entiendo la importancia de las integrales singulares y las funciones máximas. Sin embargo, aún no me he encontrado con las funciones cuadradas, y no tengo ninguna intuición sobre ellas ni ningún contexto para entender por qué son importantes. ¿Puede alguien explicarme por qué son importantes las funciones cuadradas para que pueda entenderlas un poco mejor?

Answer 1

Una de las cosas buenas de las funciones cuadradas es que pueden utilizarse para dominar la norma (en muchos espacios, pero principalmente $L^p$ ) de las funciones oscilatorias.

Tomemos por ejemplo la función cuadrada de Littlewood-Paley, que puede verse como una discretización de la función cuadrada que mencionas en tu comentario. La idea básica es escribir una función $f$ como una suma de "proyecciones" localizadas en frecuencia $$ f = \sum_n P_n f, $$ donde $P_n$ se ve en el espacio de frecuencias como $$ \widehat{P_n f } = \psi_n \widehat{f} $$ y $\psi_n$ es una función de bump que es básicamente $1$ a escala $2^n$ y $0$ en cualquier otra escala.

La función cuadrada en este caso es $$ Sf = \Bigl( \sum_n |P_n f|^2 \Bigr)^{1/2}, $$ y tenemos (para $1 < p < \infty$ ) que $$ \|f\|_{L^p} \approx \|Sf\|_{L^p}. $$ Esto nos permite estimar $$ \|\sum_n P_n f\|_{L^p}, $$ cuyas partes podrían proporcionar una gran cantidad de cancelación, por $$ \Bigl\|\Bigl( \sum_n |P_n f|^2 \Bigr)^{1/2}\Bigr\|_{L^p}, $$ que, evidentemente, no tiene ninguna posibilidad de cancelación. Es posible ahora (y de hecho bastante común) que estas "proyecciones" $P_n f$ son más simples de estimar que $f$ pero esto es difícil de precisar.

En el caso de tu función cuadrada, observa que básicamente estás escribiendo $f$ como una "suma" (una integral) de partes estrictamente positivas (ya que el integrando es cuadrado, y de ahí el nombre). Así que es más o menos la misma idea.

Answer 2

Al establecer la teoría Littlewood-Paley en la línea real $\mathbb{R}$ pasando de $L^2(\mathbb{R})$ à $L^p(\mathbb{R})$ hace que las relaciones de ortogonalidad fallen ( $L^p$ no es un espacio de Hilbert). Para compensar la falta de ortogonalidad, proporcionamos un sustituto. Establezcamos $\hat{P_jf}=\chi \hat{f}$ para ser las proyecciones Littlewood-Paley de $f$ . Entonces la función cuadrada \begin{equation*} (\sum |P_j f|^2)^{1/2} \end{equation*} seguido de una aplicación del teorema de Plancheral nos permiten hacer una extensión vectorial a $L^p(\mathbb{R})$ . Un principio similar se aplica con el Littlewood-Paley $g-$ función. Definir la integral de Poisson \begin{equation*} u(x,y)=\int_{\mathbb{R}^n}P_y(t)f(x-t)dt,~f\in L^p(\mathbb{R}^n). \end{equation*} Establecimiento de la función cuadrada \begin{equation*} g(f)(x)=(\int^{\infty}_{0}|\nabla u(x,y)|^2ydy)^{1/2} \end{equation*} nos permite realizar otra extensión vectorial para comparar $L^p$ normas. La importancia de la teoría de Littlewood-Paley radica en que las técnicas de LP se han utilizado para establecer las estimaciones de Strichartz para demostrar los resultados de existencia global en la teoría de las EDP dispersivas (puedo enviarle algunas referencias si lo desea).