Pruebalo $A(A+B)^{-1}B=B(A+B)^{-1}A$

Question

$A$, $B$ Son dos matrices cuadradas, $A+B$ es no singular, probar sobre el estado. Esto es una parte de mi álgebra mediano plazo, por supuesto, fallé, no tengo ni idea donde debo comenzar. Una cosa apareció en mi mente durante el examen es $A(I+A)=(I+A)A$, $(I+A)$ es no-singular, cómo representar A + B bajo esa forma... Que tal vez una idea equivocada.

Answer 1

Observar que $$ \text{LHS}=A(A+B) ^ {-1} B = (A + B) ^ {-1} (A + B-A) = A-A(A+B) ^ {-1} un $$ y $$ \text{RHS}=B(A+B)^{-1}A=(A+B-A)(A+B) ^ {-1} A = A-A(A+B) ^ {-1} a. $$