Probar el límite $\lim _{n\to \infty }\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\right)=1$

Question

Creo que he intentado todo lo que sé al tratar de probar este límite $$\lim _{n\to \infty }\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\right)=1$$ pero creo que o hay alguna regla que desconozco o simplemente me falta la creatividad necesaria para resolverlo.. La ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Pista: aprieta esa cosa

$$\frac n{\sqrt{n^2+n}}\le\frac1{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\le\frac n{\sqrt{n^2+1}}$$

Answer 2

De manera muy informal,

$$\lim _{n\to \infty }\frac1n\left(\frac{1}{\sqrt{1+\frac1{n^2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac2{n^2}}}+\cdots\frac{1}{\sqrt{1+\frac n{n^2}}}\right)=\lim _{n\to \infty }\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1+\frac xn}}.$$

Answer 3

Podrías considerar la siguiente "creatividad"...

Es fácil ver que $a_n:=-2\sqrt{n} +\sum_{k=1}^n \frac1{\sqrt{k}}$ es decreciente, y como $$2\sqrt{n}-2=\int_1^n\frac{dx}{\sqrt{x}}\le\sum_{k=1}^n \frac1{\sqrt{k}}$$ encontramos $a_n$ converge. Por lo tanto, basta con observar que su expresión puede escribirse como $$\sum_{k=1}^{n^2+n} \frac1{\sqrt{k}} -\sum_{k=1}^{n^2} \frac1{\sqrt{k}}=2\sqrt{n^2+n}-2n+o(1)=2n\left(\sqrt{1+1/n}-1\right)+o(1)\to1.$$