¿Para una acción transitiva de un grupo conectado por el camino, levantar cada camino?

Question

Deje $G$ ser un Hausdorff, trayectoria-conectado grupo que actúa transitivamente sobre un espacio de Hausdorff $X$. Suponga que la acción es continua (es decir, $(g,x) \mapsto g \cdot x$ es continua) y transitiva. De ello se deduce fácilmente que el $X$ es también la ruta de acceso conectado.

Dado cualquier camino de $x_t$$X$, debe existir un camino de $g_t$ $G$ tal que $x_t = g_t \cdot x_0$$t \in [0,1]$.

Estoy inclinado a pensar que la respuesta es "no". En este caso, también me gustaría estar muy interesado en escuchar de hipótesis adicionales que hacen que la respuesta en "sí". Gracias.

Answer 1

Si $G$ es una Mentira grupo y el estabilizador es un subgrupo cerrado, a continuación, el mapa de $G \rightarrow X$ envío de $g \mapsto gx_0$ es una de las principales $H$-bundle y así satisface camino de elevación.

En general, es un teorema de Steenrod que $G \rightarrow X$ es un haz de fibras (por lo tanto, en particular, satisface camino de la elevación) si existe una sección local de este mapa alrededor de $x_0$ y el estabilizador es un subgrupo cerrado.

Me parece que no puede encontrar literatura sobre si es o no $G \rightarrow X$ podría ser un fibration sin llegar a ser un haz de fibras... así que no sé. También no puedo encontrar un contraejemplo para al $G \rightarrow G/H$ deja de ser un fibration al $H$ está cerrada (el problema parece ser que viene con los grupos de $G$ que están muy lejos de ser Mentira grupos).