¿Que racionales pueden escribirse como la suma de dos cuadrados racionales?

Question

¿Qué números racionales pueden escribirse como la suma de dos cuadrados racionales?

Es decir, que $a$ de números racionales, existen números racionales $x$ y $y$ tal que $a = x^2 + y^2$.

Es un famoso teorema que si un número entero puede escribirse como la suma de dos cuadrados racionales entonces se puede escribir como la suma de dos cuadrados integradas y entonces la solución es la famosa por Fermat, pero no encontré nada sobre el caso general.

Answer 1

Deje $r=\frac{p}{q}$ donde $p$ $q$ son enteros. Vamos a mostrar que el $r$ puede ser escrito como la suma de dos racional cuadrados si y sólo si $pq$ puede ser escrito como la suma de los cuadrados de dos números enteros.

Equivalentemente, si $p\ne 0$, $\frac{p}{q}$ es la suma de los cuadrados de dos racionales si y sólo si cada divisor primo de $pq$ de la forma $4k+3$ se produce a una potencia par.

Prueba: Si $pq$ es la suma de los cuadrados de dos números enteros, es claro que $r$ es la suma de los cuadrados de dos racionales.

En el otro sentido, supongamos que $r$ puede ser escrito como la suma de los cuadrados de dos racionales. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que los racionales son $\frac{a}{c}$ $\frac{b}{c}$ para algunos enteros $a,b,c$. Entonces $$\frac{a^2+b^2}{c^2}=\frac{pq}{q^2}.$$ Por lo $c^2pq$ es una suma de dos cuadrados. De ello se sigue que todos los primos de la forma $4k+3$ se produce a un grado en el primer poder de la factorización de $c^2pq$, y, por tanto, de $pq$. De ello se desprende que $pq$ es una suma de dos cuadrados.

Answer 2

Esto puede ser traducido en una pregunta acerca de Hilbert símbolos (o álgebras de cuaterniones). De hecho, usted puede comprobar fácilmente que un racional $a$ puede ser escrito como suma de dos cuadrados si y sólo si el símbolo de Hilbert $(a,-1)_{\mathbb Q}$ es trivial. Ahora escribo $a=p/q$ y el aviso de que $(p/q,-1)=(pq,-1)$. Usted puede olvidarse de todas las plazas en la factorización de $pq$, por lo que se puede suponer que la $p$ $q$ son tanto squarefree. Ahora mira a la factorización en primos de $p$ $q$ y utilice el hecho de que $(x,-1)(y,-1)=(xy,-1)$ todos los $x,y\in\mathbb Q$, junto con el hecho de que para un primer $l$ que $(l,-1)$ es trivial iff $l\equiv 1,2\bmod 4$, mientras que el si $l\equiv 3\bmod 4$ $(l,-1)$ ramifies en $2$ $l$ para obtener su respuesta: $a$ puede ser escrito como suma de dos cuadrados iff es no negativo y es de la forma $b^2\frac{p}{q}$ donde $b\in\mathbb Q$ $p,q$ son coprime enteros divididos sólo por los números primos $\equiv 1,2\bmod 4$.