Pregunta. Deje $C_1,\dots,C_k$ ser conjugacy clases en el grupo simétrico $S_n$. (Más explícitamente, cada una de las $C_i$ está dado por una partición de $n$; $C_i$ consta de permutaciones cuyos ciclos la longitud prescrita por la partición.) Dar una condición necesaria y suficiente en $C_i$ que se aseguraría de que no son permutaciones $\sigma_i\in C_i$ con $$\prod\sigma_i=1.$$
La variante. Misma pregunta, pero ahora $\sigma_i$'s están obligados a ser irreductible en el sentido de que ellos no tienen en común invariante adecuada subconjuntos $S\subset\lbrace 1,\dots,n\rbrace$.
No estoy seguro de cómo duro a esta pregunta es, y agradecería cualquier comentario u observaciones. (No he podido encontrar referencias, pero tal vez yo no estaba buscando las cosas correctas.)
Esta pregunta está inspirada en Jonás Sinick la pregunta a través de la simple
Interpretación geométrica. Considere la posibilidad de la esfera de Riemann con $k$-pinchazos $X=\mathbb{CP}^1-\lbrace x_1,\dots,x_k\rbrace$. Su grupo fundamental de la $\pi_1(X)$ es generado por los bucles $\gamma_i$ ($i=1,\dots,k$) sujeto a la relación $$\prod\gamma_i=1.$$ Por lo tanto, homomorphisms $\pi_1(X)\to S_n$ describa el grado $n$ cubre de $X$, y el problema pueden enunciarse como sigue: Determinar si existe una cubierta de $X$ con lo prescrito la ramificación más de cada una de las $x_i$. La variante, se requiere además que la cubierta se irreductible.
De fondo. El Deligne-Simpson Problema se refiere a la siguiente pregunta:
Revisión clases conjugacy $C_1,\dots,C_k\in\mathrm{GL}(n,\mathbb{C})$ (dada explícitamente por $k$ Jordania formas). ¿Cuál es la condición necesaria y suficiente para la existencia de matrices $A_i\in C_i$ $$\prod A_i=1$$ (variante: requieren que el $A_i$'s no tienen en común la correcta subespacios invariantes)?
Hay muy pocos trabajos sobre el tema; mi favorito es el de Simpson de papel, que tiene referencias a otros documentos pertinentes. El problema tiene un no-trivial solución (incluso declarar la respuesta no es fácil): en primer lugar hay un cierto descenso procedimiento (Katz medio algoritmo de convolución) y, a continuación, la respuesta se construye directamente (como tengo entendido, hay dos respuestas: Crawley-Boevey del argumento con parabólica haces, y Simpson de la construcción el uso de no-abelian teoría de Hodge).
La misma interpretación geométrica muestra que la costumbre Deligne-Simpson problema es sobre la búsqueda de sistemas locales (variante: irreducible sistemas locales) en $X$ con lo prescrito local monodromy.
Así que: cualquier comentario en ¿qué pasa si nos vamos de$\mathrm{GL}(n)$$S_n$?
