Deligne-Simpson problema en el grupo simétrico

Question

Pregunta. Deje $C_1,\dots,C_k$ ser conjugacy clases en el grupo simétrico $S_n$. (Más explícitamente, cada una de las $C_i$ está dado por una partición de $n$; $C_i$ consta de permutaciones cuyos ciclos la longitud prescrita por la partición.) Dar una condición necesaria y suficiente en $C_i$ que se aseguraría de que no son permutaciones $\sigma_i\in C_i$ con $$\prod\sigma_i=1.$$

La variante. Misma pregunta, pero ahora $\sigma_i$'s están obligados a ser irreductible en el sentido de que ellos no tienen en común invariante adecuada subconjuntos $S\subset\lbrace 1,\dots,n\rbrace$.

No estoy seguro de cómo duro a esta pregunta es, y agradecería cualquier comentario u observaciones. (No he podido encontrar referencias, pero tal vez yo no estaba buscando las cosas correctas.)

Esta pregunta está inspirada en Jonás Sinick la pregunta a través de la simple

Interpretación geométrica. Considere la posibilidad de la esfera de Riemann con $k$-pinchazos $X=\mathbb{CP}^1-\lbrace x_1,\dots,x_k\rbrace$. Su grupo fundamental de la $\pi_1(X)$ es generado por los bucles $\gamma_i$ ($i=1,\dots,k$) sujeto a la relación $$\prod\gamma_i=1.$$ Por lo tanto, homomorphisms $\pi_1(X)\to S_n$ describa el grado $n$ cubre de $X$, y el problema pueden enunciarse como sigue: Determinar si existe una cubierta de $X$ con lo prescrito la ramificación más de cada una de las $x_i$. La variante, se requiere además que la cubierta se irreductible.

De fondo. El Deligne-Simpson Problema se refiere a la siguiente pregunta:

Revisión clases conjugacy $C_1,\dots,C_k\in\mathrm{GL}(n,\mathbb{C})$ (dada explícitamente por $k$ Jordania formas). ¿Cuál es la condición necesaria y suficiente para la existencia de matrices $A_i\in C_i$ $$\prod A_i=1$$ (variante: requieren que el $A_i$'s no tienen en común la correcta subespacios invariantes)?

Hay muy pocos trabajos sobre el tema; mi favorito es el de Simpson de papel, que tiene referencias a otros documentos pertinentes. El problema tiene un no-trivial solución (incluso declarar la respuesta no es fácil): en primer lugar hay un cierto descenso procedimiento (Katz medio algoritmo de convolución) y, a continuación, la respuesta se construye directamente (como tengo entendido, hay dos respuestas: Crawley-Boevey del argumento con parabólica haces, y Simpson de la construcción el uso de no-abelian teoría de Hodge).

La misma interpretación geométrica muestra que la costumbre Deligne-Simpson problema es sobre la búsqueda de sistemas locales (variante: irreducible sistemas locales) en $X$ con lo prescrito local monodromy.

Así que: cualquier comentario en ¿qué pasa si nos vamos de$\mathrm{GL}(n)$$S_n$?

Answer 1

Esta pregunta es una de las más de 100 años de antigüedad problema y es llamado en la litearture "Hurwitz exitence problema". Este es un problema abierto. A pesar de que muchos parcial de los casos se resuelven. Por ejemplo, usted puede revisar el siguiente artículo

Sobre la existencia de aminoácidos de los revestimientos de las superficies prescritas rama de datos, me Ekaterina Pervova, Carlo Petronio

http://arxiv.org/abs/math/0508434

Por supuesto, usted puede dar una obvia respuesta formal, (en el primer caso, que no es irreducible) que en la portada existe si y sólo si el producto de los elementos en el grupo de álgebra de $S_n$ correspondiente a la permutación que eligió contiene $1$ en su descomposición. Pero esto es sólo una reformulación del problema.

Aquí está un ejemplo diferente de un reciente artículo en Hurwitz existencia del problema, contiene, en particular una gran cantidad de referencias en la investigación en este tema.

La solución de la Hurwitz problema para los polinomios de Laurent

http://arxiv.org/abs/math/0611776

Observe también que hay toda una rama de las matemáticas hoy en día, donde la gente intenta calcular el número real de ramificado que cubre, y no sólo para responder a la pregunta si una cubierta existe o no existe. Este es un ejemplo típico

Gromov-Witten teoría, Hurwitz teoría, y ciclos completados Autores: Andrei Okounkov, Rahul Pandharipande http://arxiv.org/abs/math/0204305

Answer 2

(quería hacer este comentario, pero no podía entender cómo)

Como Dmitri dice, se puede expresar el número de ramificó cubre mediante el grupo de álgebra de S_n, no sólo si es distinto de cero; una vez hecho esto, la inclusión/exclusión de argumento basado en la separación de las clases conjugacy en particiones más pequeñas permite averiguar el número de estos que son irreductibles. este es un principio de respuesta que, por supuesto, totalmente inútil en la práctica