Cómo mostrar que para cualquier $d\in\mathbb{N}$ y $\delta>0$ allí existen $\varepsilon=\varepsilon(d,\delta)>0$ tal $f$ es un polinomio de grado $d$ y $$|f(t)|\leq 1,\quad t\in[0,1],$$ then $% $ $|f(t)|<1+\delta,\quad t\in[0,1+\varepsilon].$(este es un ejercicio de "Introducción a Ratner teoremas..." por D.W. Morris). Es inmediato $d=0,1,2$, pero yo probablemente estoy falta algun truco para el caso general. Cualquier ayuda es muy apreciada.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Reclamo: Para cada $d\in\mathbb{N}$ existe $M_d>0$, de tal manera que para $f(x)=\sum_{i=0}^da_ix^i$ si $|f(t)|\le 1$ al $t\in[0,1]$, luego $|a_i|\le M_d$, $i=0,\dots d$.
Prueba de Reclamación: Dado $f(x)=\sum_{i=0}^da_ix^i$ e da $b_0,\dots,b_d\in[-1,1]$, considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales con incógnitas $a_0,\dots,a_d$: $$f\big(\frac{i}{d}\big)=b_i,\quad i=0,\dots,d.\tag{1}$$ Tenga en cuenta que el coeficiente de la matriz de $(1)$ es no-singular Vandermonde matriz cuyas entradas son independientes de $b_0,\dots,b_d\in[-1,1]$. De ello se desprende que $(1)$ tiene una única solución a $(a_0,a_1,\dots,a_d)$ y no existe $M_d>0$, sólo depende de $d$, de tal manera que $|a_i|\le M_d$, $i=0,\dots d$, lo que demuestra la demanda. $\quad\square$
La declaración de la siguiente manera a partir de la reivindicación de inmediato. Si $f(x)=\sum_{i=0}^da_ix^i$ cumple que $|f(t)|\le 1$ al $t\in[0,1]$, luego $|a_i|\le M_d$, $i=0,\dots d$, y para cada $\delta>0$ existe $\varepsilon=\min(1,\frac{\delta}{2^dM_d})$, de tal manera que cuando se $t\in[1,1+\epsilon]$,
$$|f(t)|\le |f(1)|+|f(t)-f(1)|\le 1+\sum_{i=0}^d|a_i|(t^i-1)\le M_d\varepsilon\sum_{i=1}^d 2^{i-1}\le 1+2^dM_d\varepsilon\le 1+\delta.$$
Edit: Una forma alternativa(indirecta, pero un poco más general) para demostrar que el reclamo es utilizar el hecho de que todas las normas sobre finito-dimensional espacios vectoriales son equivalentes. El reclamo de la siguiente manera a partir de la comparación de las dos normas de $\mathbb{R}^{d+1}$ a continuación: $$\|(a_0,\dots,a_d)\|:=\max_{0\le i\le d}|a_i|~,\quad \|(a_0,\dots,a_d)\|':=\max_{0\le t\le 1}|\sum_{i=0}^d a_it^i|.$$
smiley06
Puntos
1930
Claramente es uniformemente continua en intervalos cerrados, dados así %#% existe $f $ tal que si tenemos $ \delta >0 $ entonces para todos eso $ \epsilon'(d,\delta)>0 $ $ |y-t| \leq \epsilon' $ $ tomar $y$, entonces tenemos todas las $$ |f(y)-f(t)|< \delta $ $ \epsilon = \min\{ \epsilon',1\} $$ t \in [1,1+\epsilon] $ #% y así $ 0 \leq 1-\epsilon \leq t-\epsilon \leq 1 $. Así podemos elegir $ t-\epsilon \in [0,1] $ que claramente satisface $y \in [t-\epsilon,1]\subseteq [0,1] $. Por lo tanto, tenemos para todos $ |y-t|\leq \epsilon $ % $ $ t \in [1,1+\epsilon] $$$ |f(t)|\leq |f(y)|+|f(y)-f(t)| < 1 + \delta $trivial tenemos $ t\in [0,1] $. Así $ |f(t)| \leq 1 < 1 + \delta $ % todo $ |f(t)| < 1+ \delta $
