Distribución estacionaria de paseo aleatorio

Question

Deje $\mathcal{X}$ ser un simple paseo aleatorio con barrera en cero, espacio de estado $E = \mathbb{N}_0$ y la matriz de transición de abajo con $0<q<1$.

$$\begin{bmatrix} 1-q & q & & & \\ 1-q & 0 & q & & \\ & 1-q & 0 & q & \\ & & 1-q & 0 & q \\ & & & \ddots & \ddots & \ddots \end{bmatrix}$$

¿Cómo puedo determinar la distribución estacionaria para $q < \frac{1}{2}$? Y ¿por qué la condición de que $q < \frac{1}{2}$ necesario para $\mathcal{X}$ tener una distribución estacionaria?

También, es decir que $\mathbb{P}(X_n = n |X_0 =0) = q^n >0$ $\mathbb{P}(X_n =0 | X_0 =n) = (1-q)^n >0$ suficiente para mostrar la $\mathcal{X}$ es irreducible?

Actualización: me $\pi_n = \left( \frac{1-q}{q} \right)\pi_{n+1}$ todos los $n \in \mathbb{N}_0$, pero ¿por qué la condición de que $q < \frac{1}{2}$ necesario para $\mathcal{X}$ tener una distribución estacionaria?

Answer 1

De $\pi_n = \left( \frac{1-q}{q} \right)\pi_{n+1}$ usted puede conseguir $\pi_n = \left( \frac{q}{1-q} \right)\pi_{n-1} = \left( \frac{q}{1-q} \right)^n \pi_0$.

$\sum\pi_i=\sum \left( \frac{q}{1-q} \right)^i \pi_0 = \pi_0 \sum \left( \frac{q}{1-q} \right)^i =1$

Por lo $\pi_0$ debe ser >0, y la suma debe convergen, esto sólo es cierto si $\frac{q}{1-q} < 1$, lo $q$ debe ser de menos de $1/2$.

Otra manera de verlo es la nota que "la media de la distribución" ($\sum(i*\pi_i)$) moverse hacia adelante por el estado $0$ (a partir de aquí sólo se puede permanecer aquí o ir un paso adelante), y mover hacia atrás por todo el estado en el fib $q<1-q<1/2$. Para una distribución estacionaria el estado debe ser independiente del tiempo, por lo que la media de esa distribución debe ser independiente del tiempo, por lo que no puede "avanzar".