Lebesgue lema señala que para cada cubierta abierta $\{U_\alpha\}_{\alpha\in A}$ de un espacio métrico compacto $(X,\rho)$ allí existe un número $d>0$ tal que $$ \forall x\in X \quad \exists \alpha_x\in un \quad (r < d \Rightarrow B_r (x) \subset U_ {\alpha_x}). $$ me gustaria saber si esta propiedad es característica de espacios métricos compactos, que si para cada métrica no compacto espacio allí existe una cubierta abierta sin un número de Lebesgue.
Respuesta
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Dar $\Bbb N$ discreto métrica:
$$d(m,n)=\begin{cases}1,&\text{if }m\ne n\\0,&\text{if }m=n\end{cases}$$
Es evidente que este espacio no es compacto, pero cualquier positivos $d\le 1$ es un número de Lebesgue para cada apertura de la tapa de la misma.
Añadido: el Haber dado a la cuestión un poco más de pensamiento, puedo demostrar el siguiente teorema. Decir que un espacio métrico $\langle X,d\rangle$ es Lebesgue si toda cubierta abierta de que tiene un número de Lebesgue.
Teorema: Vamos a $\langle X,d\rangle$ ser un espacio métrico. Si $X$ tiene un no-convergente de Cauchy secuencia o un infinito cerrado conjunto discreto de la no-puntos aislados, entonces $X$ no es Lebesgue. En particular, todo espacio de Lebesgue es completa, y todo perfecto Lebesgue espacio es compacto.
Prueba: Supongamos primero que $\sigma=\langle x_k:k\in\omega\rangle$ no es convergente secuencia de Cauchy en $X$. Deje $\langle X^*,d^*\rangle$ será el habitual de la métrica de la finalización de $\langle X,d\rangle$, y deje $p\in X^*$ ser el límite de$\sigma$$X^*$. Deje $V_0=X^*\setminus B_{d^*}(p,2^{-1})$, y para $k>0$ deje $V_k=B_{d^*}(p,2^{-k+1})\setminus \operatorname{cl}_{X^*}B_{d^*}(p,2^{-k-1})$. Para $k\in\omega$ deje $W_k=X\cap V_k$. A continuación, $\mathscr{W}=\{W_k:k\in\omega\}$ es una cubierta abierta de a $X$ sin número de Lebesgue.
Ahora supongamos que $\{x_k:k\in\omega\}$ es un cerrado conjunto discreto de la no-aislado puntos en $X$. Hay pares distintos, cierre de preservación de la colección de $\{V_k:k\in\omega\}$ tal que $x_k\in V_k$ por cada $k\in\omega$, por lo que hay una secuencia $\langle r_k:k\in\omega\rangle$ de los números reales positivos tales que $B_d(x_k,r_k)\subseteq V_k$ por cada $k\in\omega$, e $\langle r_k:k\in\omega\rangle\to 0$. Vamos $$W=X\setminus\bigcup_{k\in\omega}\operatorname{cl}_X B_d\left(x_k,\frac{r_k}2\right)\;,$$ and let $\mathscr{W}=\{W\}\cup\{B_d(x_k,r_k):k\in\omega\}$; then $\mathscr{W}$ is an open cover of $X$ with no Lebesgue number. $\dashv$
