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Prueba de comprensión de una inmersión

Estoy estudiando la siguiente prueba para que un fragmento se proporciona a continuación:

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Actualización: he escrito un detallado prueba de un argumento que busca verificar la afirmación de que $\partial \psi$ es invertible. (1) yo soy claro en lo que es especial sobre el punto de $(x_0, 0)$ como la prueba parece que va a través independientemente del valor del punto en particular y (2) El autor de la lógica al final parece revertirse a mí. Sería de gran ayuda si alguien pudiera crítica de la prueba a continuación e indicar lo que paso, si alguno, es incorrecta. También, me disculpo por no incluyendo el real TEX; fue formulado a nivel local y me hizo uso de muchas macros que mathjax no entender:

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