¿Es cada izquierda fibración de simplicial con fibras no vacías una fibración kan trivial?

Question

En el Lema 2.1.3.4 de Mayor Topos de la Teoría, la declaración de la lema requiere que las fibras no son sólo vacío, pero contráctiles. Sin embargo, en la prueba, no veo donde contractibilidad es utilizado directamente, sólo el hecho de que las fibras son no vacíos. No hay otro lugar donde contractibilidad se menciona, "Ya que el límite de este simplex mapas completamente en el contráctiles kan compleja $S_t$, es posible extender $f'$$X(n+1)$." Sin embargo, no veo cómo contractibilidad directamente los factores, ya que sólo podría dar fe de la singularidad de la extensión. La existencia de la extensión viene del hecho de que la inclusión $\partial \Delta^n \times \Delta^1 \subseteq X(n+1)$ anodina y $S_t$ es un vacío Kan complejo y el hecho de que el mapa f' factores a través de la inclusión de $S_t$.

Por favor me corrija si estoy equivocado. También, hay un puesto en meta donde me preguntó por primera vez si esta pregunta es apropiado, y yo se aprobó por Anton.

Answer 1

El % de inclusión $\partial \Delta^n \times \Delta^1 \subseteq X(n+1)$no es cualquier tipo de extensión anodina, sin embargo. Se forma uniendo un simple n $\partial \Delta^n \times \Delta^1$ $\partial \Delta^n \times 0$ de la frontera. Tan extender un mapa $S_t$ $\partial \Delta^n \times \Delta^1$ $X(n+1)$ es exactamente igual que se extiende un mapa de $\partial \Delta^n$ $\Delta^n$, y ser capaces de hacer esto para todas las $n$ es exactamente lo mismo que $S_t$ ser un contractible Kan complejo (ya que los mapas de $\partial \Delta^n \to \Delta^n$ $n$ variar forma generando cofibrations de la estructura del modelo Kan).

Answer 2

Cada vez que me confundo sobre quasicategories pienso en categorías comunes. Una fibración izquierda entre categorías ordinarias (nervios de) es lo mismo que un opfibration con fibras de groupoid, y una fibración trivial entre categorías ordinarias es lo mismo que una equivalencia que es sobreyectiva en objetos. Claramente un opfibration en grupoides con fibras no vacías no necesita ser una equivalencia a menos que las fibras son termocontraibles.