Determinar el Polinomio irreducible $\alpha=\sqrt{3}+\sqrt{5}$ $\mathbb{Q}(\sqrt{10})$

Question

Ya he encontrado que el polinomio irreducible de $\alpha$$\mathbb{Q}$$x^4-16x^2+4$. También he encontrado que $\mathbb{Q}(\sqrt{3}+\sqrt{5})=\mathbb{Q}(\sqrt{3},\sqrt{5})$ y $\mathbb{Q}(\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{10})=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})$. Desde $[\mathbb{Q}(\sqrt{10}):\mathbb{Q}]=2$ y $[{\mathbb{Q}(\sqrt{3},\sqrt{5}):\mathbb{Q}}]=4$, $[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}):\mathbb{Q}(\sqrt{3},\sqrt{5})]$ debe ser 1 o 2.

Sé que es 2, pero estoy teniendo un tiempo difícil probar que $\mathbb{Q}(\sqrt{3},\sqrt{5})\neq\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})$. Estoy tratando de mostrar que $\sqrt{2}\not\in\mathbb{Q}(\sqrt{3},\sqrt{5})$ pero no estoy teniendo mucha suerte.

La solución en el siguiente enlace utiliza un teorema de la teoría de Galois aún no hemos cubierto así que no me siento cómodo con él. Esto es lo que hemos cubierto que sospecho que es relevante, pero no he averiguado cómo utilizar:

Deje $K$ $K^\prime$ ser extensiones del mismo campo $F$. Un isomorfismo $\varphi:K\to K^\prime$ que restringe a la identidad en $F$ es un isomorfismo de campo extensiones.

Deje $F$ ser un campo y $\alpha$ $\beta$ ser elementos de campo extensiones $K/F$$L/F$. Supongamos $\alpha$ $\beta$ son algebraicos sobre $F$. Hay un isomorfismo de los campos de $\sigma:F(\alpha)\to F(\beta)$ que es la identidad en $F$ y que envía a $\alpha\leadsto\beta$ si y sólo si los polinomios irreducibles de $\alpha$ $\beta$ $F$ son iguales.

Deje $\varphi:K\to K^\prime$ ser un isomorfismo de campo extensiones de $F$, y deje $f$ ser un polinomio con coeficientes en $F$. Deje $\alpha$ ser una raíz de $f$$K$, y deje $\alpha^\prime=\varphi(\alpha)$ ser su imagen en $K^\prime$. A continuación, $\alpha^\prime$ también es una raíz de $f$.

Si empiezo por el supuesto de que $\mathbb{Q}(\sqrt{3},\sqrt{5})=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})$, entonces sospecho que las tres afirmaciones anteriores se llevan a una contradicción en algún lugar. Yo simplemente no tienen una buena comprensión sólida de cómo ponerlos en práctica todavía.

Cualquier ayuda es muy apreciada. Gracias,

Answer 1

Supongamos por contradicción que

$$\sqrt{2}=a+b\sqrt{3}+c\sqrt{5}+d \sqrt{15} \,.$$

El cuadrado ambos lados y usando el hecho de que $1, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{15}$ son linealmente independientes sobre Q usted obtener

$$2=a^2+3b^2+5c^2+15d^2 \,.$$ $$ab+5cd =0 \,.$$ $$ac+3bd=0 \,.$$ $$ad+bc=0 \,.$$

A partir de las dos últimas ecuaciones obtenemos

$$3bd^2=-acd=bc^2 \,.$$

Desde $3d^2=c^2$ no tiene raíces racionales obtenemos que $b=0$.

De ello se sigue que

$$2=a^2+5c^2+15d^2 \,.$$ $$5cd =0 \,.$$ $$ac=0 \,.$$ $$ad=0 \,.$$

A partir de las dos últimas ecuaciones se deduce que dos de $a,c,d$ debe $0$, y luego se obtiene a partir de la primera ecuación que $x^2 \in \{ 2, \frac{2}{5}, \frac{2}{15} \}$ donde $x$ es el distinto de cero... Contradicción con $x \in Q$.