¿Cómo probar esta descomposición de la suma de los cuadrados?

Question

Estoy leyendo un libro "Un compendio de conjugado reincidentes" por Daniel Fink (Publicado mayo de 1997).

Tiene un paso matemático que se muestra como

$$\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2=n(\mu-\overline x)+\sum_{i=1}^n(x_i-\overline x)^2$$

$\mu$ Es el parámetro desconocido y $\overline x$ es la media conocida de $\mathbf x=(x_1, x_2, x_3, \dots,x_n)$

¿Cómo demuestro esta identidad?

Answer 1

Me temo que lo que muestra es incorrecto. Sumar y restar $\bar{x}$:

$$\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2=\sum_{i=1}^{n}((x_i-\bar{x})-(\mu-\bar{x}))^2$$

Alimentación $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$: suma de $$=\sum_{i=1}^{n}\left((x_i-\bar{x})^2-2(x_i-\bar{x})(\mu-\bar{x})+(\mu-\bar{x})^2\right)$ $ Rearagning la $$=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2-\sum_{i=1}^{n}2(x_i-\bar{x})(\mu-\bar{x})+\sum_{i=1}^{n}(\mu-\bar{x})^2$de % sumas $ pasado no depende en Índice $i$ $$=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2-\sum_{i=1}^{n}2(x_i-\bar{x})(\mu-\bar{x})+n(\mu-\bar{x})^2$ $Putting cosas de la segunda suma que son independientes en la $i$ % # $%#%

Centrémonos en $$=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2-2(\mu-\bar{x})\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})+n(\mu-\bar{x})^2$

Así, $\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})=\sum_{i=1}^n x_i-n\bar{x}=\frac{n}{n}\sum_{i=1}^n x_i-n\bar{x}=n\bar{x}-n\bar{x}=0$ $

Su fórmula está mal, pierde el poder en el segundo término.

Answer 2

_{Veo mientras estaba escribiendo que este @KarelMacek (+ 1) dio una prueba idéntica.}

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\begin{align} &\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2= \\ &\sum_{i=1}^{n}x_i^2-2\sum_{i=1}^{n}x_i\mu+\sum_{i=1}^{n}\mu^2=\\ &\sum_{i=1}^{n}x_i^2-2\mu\left(\sum_{i=1}^{n}x_i\right)+n\mu^2=\\ &\sum_{i=1}^{n}x_i^2-2\mu n\overline x+n\mu^2=\\ &\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline x)^2+2\overline x\sum_{i=1}^{n}x_i+\sum_{i=1}^{n}\overline x^2-2\mu n\overline x+n\mu^2=\\ &\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline x)^2+2 n \overline x ^2-n\overline x^2-2\mu n\overline x+n\mu^2=\\ &\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline x)^2+ n \left(\overline x ^2-2\mu \overline x+\mu^2\right)\\ &\therefore \sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline x)^2+ n \left(\overline x -\mu\right)^2 \end {Alinee el}

Que es no lo que Fink con claridad.