Algunas preguntas acerca de la función gamma

Question

1. Mostrar que $\Gamma(y) = \int_0^{\infty}{e^{-x}x^{y-1}\,dx}$ es finito para $y>0$ tanto impropia de Riemann integral y como una integral de Lebesgue.

2. Espectáculo $\Gamma'(y) = \int_0^{\infty}{e^{-x}x^{y-1}\ln{x}\,dx}$$y>0$.

Para uno: he intentado simplemente integración impropia de Riemann integral, pero que siempre terminan con otro integrante del "mismo tipo" (que es la forma de mostrar finalmente $\Gamma(y+1)=y\Gamma(y)$ ). ¿Cómo puedo evitar esto? Como para la integral de Lebesgue, creo que sería más fácil comparar el integrando a una mayor función cuya integral converge, pero no he venido para arriba con un buen candidato.

Para los dos: Fix $y_0>0$. Escribir $$\Gamma'(y) = \lim_{y\to y_0}{\int_0^{\infty}{\frac{e^{-x}x^{y-1}-e^{-x}x^{y_0-1}}{y-y_0}\,dx}}\,.$$ By the MVT, there exists $\eta$ between $s$ and $y_0$ such that the above limit is equal to $$\lim_{y\to y_0}{\int_0^{\infty}{e^{-x}x^{\eta-1}\ln{x}\,dx}}\,.$$ Pero ahora no estoy seguro de qué hacer. Esto es similar a una pregunta anterior que he publicado; para ese problema sabíamos que la derivada de la original integrando fue delimitada, por lo que se aplicó el delimitada teorema de convergencia. Sería suficiente para demostrar que la derivada de mi integrando es acotado, y aplicar BCT?

Answer 1

Un poco tarde para el juego, pero aquí hay una respuesta:

1: Para mostrar que es finito: Escribir $e^{-x}=e^{-x/2}\cdot e^{-x/2}$. Para cada $y>0$ existe $N$ tal que $e^{-x/2}x^{y-1}<1$ al$x>N$, de modo que $$\int_N^\infty e^{-x} x^{y-1}dx\leq \int_N^\infty e^{-x/2} <\infty.$$ For $x$ between $0,1$ compare to $\int x^{y-1}dx$ which converges whenever $y-1>-1$, so for all $s$. Lastly bounding $\int_1^N e^{-x}x^{y-1}dx$ os dejo a usted.

2: Para esta parte, lo que hemos hecho hasta ahora es buena. Todo lo que tenemos que hacer es cambiar la última integral con el límite. Para hacer esto, observe que en un barrio de radio $\delta$ $y_0$ podemos enlazado $$\int_0^\infty e^{-x} x^{y-1}dx$$ por métodos similares como en 1. Entonces, aplicando el Teorema de Convergencia Dominada a ese barrio, se puede cambiar el límite de la integral, la solución del problema.

Nota: Para que la última parte, la notificación no podemos obligado $$\int_0^\infty e^{-x} x^{y-1}dx$$ uniformely for all $y\en(0,\infty)$ since the function blows up at $0$ and at $\infty$. But fortunately, we can bound it uniformely for all $s$ in any compact subset of $(0,\infty)$, lo que nos permite utilizar la DCT.