Halla el sumatorio de la siguiente secuencia

Question

Por favor, dame una idea de cómo proceder ya que estoy realmente atascado con esto, no me he encontrado con este tipo de pregunta antes, sin embargo, mi amigo me dio este resumen y estoy atascado. $${4\choose 1} + \frac{5\choose2}{2}+\frac{6\choose3}{4}+\dots$$

Answer 1

Oh.

Leí mal el denominador como $n+1$ , no $2^n$ .

Así que esto es fácil.

Tenga en cuenta que $\binom{n}{n-3} =\binom{n}{3}$ .

Entonces mira $(1-x)^{-a}$ para $a=4$ .

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Aquí hay más.

Su serie es

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac1{2^{n-1}}\binom{n+3}{n} =2\sum_{n=1}^{\infty} \frac1{2^n}\binom{n+3}{3}$ .

Considere $f_a(x) =(1-x)^{-a} =\sum_{n=0}^{\infty} \binom{a+n-1}{n} x^n$ .

(ver https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_theorem#Newton.27s_generalized_binomial_theorem )

Su serie es

$\begin{array}\\ 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac1{2^n}\binom{n+3}{n} &=2(-1+\sum_{n=0}^{\infty} \frac1{2^n}\binom{n+3}{n})\\ &=2(f_4(\frac12)-1)\\ &=2(\dfrac1{(1-\frac12)^4}-1)\\ &=2(\dfrac1{\frac12^4}-1)\\ &=30\\ \end{array}$

Answer 2

$$\sum_{r=1}^\infty\binom{r+3}r\left(\dfrac12\right)^{r-1}=\sum_{r=1}^\infty\binom{r+3}3\left(\dfrac12\right)^{r-1}$$

$$=\dfrac26\sum_{r=1}^\infty\left(r^3\left(\dfrac12\right)^r+6r^2\left(\dfrac12\right)^r+11r\left(\dfrac12\right)^r+6\left(\dfrac12\right)^r\right)$$

Ahora para $|x|<1,$ $$\sum_{r=0}^\infty ax^r=\dfrac a{1-x}$$

Necesitamos una diferenciación repetida

Answer 3

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[8px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ $$\begin{align} \sum_{n = 1}^{\infty}{{n + 3 \choose n} \over 2^{n - 1}} & = -2 + 2\sum_{n = 0}^{\infty}{1 \over 2^{n}}\ \overbrace{{-\bracks{n + 3} + n - 1 \choose n}\pars{-1}^{n}}^{\ds{\mbox{Binomial Negation}}}\ =\ -2 + 2\sum_{n = 0}^{\infty} {-4 \choose n}\pars{-\,{1 \over 2}}^{n} \\[5mm] & = -2 + 2\bracks{1 + \pars{-\,{1 \over 2}}}^{-4} = \bbx{\ds{30}} \end{align}$$

Answer 4

Dejemos que $\displaystyle\binom{r+3}r\left(\dfrac12\right)^{r-1}=\binom{r+3}3\left(\dfrac12\right)^{r-1}=f(r+1)-f(r)$

donde $f(m)=\left(\dfrac12\right)^m\sum_{r=0}^na_rm^r$ donde $a_r$ son constantes arbitrarias

$\dfrac16(r+3)(r+2)(r+1)\left(\dfrac12\right)^{r-1}$ $=\left(\dfrac12\right)^{r+1}\left(a_0+a_1(r+1)+a_2(r+1)^2+a_3(r+1)^3+\cdots\right)-\left(\dfrac12\right)^r\left(a_0+a_1(r)+a_2(r)^2+a_3(r)^3+\cdots\right)$

$\dfrac{r^3+6r^2+11r+6}6$ $=\left(\dfrac12\right)^2\left(a_0+a_1(r+1)+a_2(r+1)^2+a_3(r+1)^3+\cdots\right)-\left(\dfrac12\right)\left(a_0+a_1(r)+a_2(r)^2+a_3(r)^3+\cdots\right)$

Claramente, $a_r=0$ para $r\ge4$

Comparando los coeficientes de $r^3,$ $$\dfrac16=\dfrac{a_3}4-\dfrac{a_3}2\iff a_3=?$$

Comparando los coeficientes de $r^2,$ $$1=\dfrac{a_2+3a_3}4-\dfrac{a_2}2\iff a_2=?$$

Del mismo modo, comparando los coeficientes de $r$ y las constantes, podemos encontrar $a_1,a_0$

Utilizando Serie telescópica , $$\sum_{r=1}^\infty\binom{r+3}3\left(\dfrac12\right)^{r-1}=-f(1)$$