Me gustaría críticas de la corrección, concisión y claridad. Gracias!
La proposición: no Hay ningún número racional cuyo cuadrado es de 12
Prueba: Supongamos que no eran un número, $a = \in \mathbb{Q}$ s.t. $a^2 = 12$.
Esto implica que $\exists$ $m, n \in \mathbb{Z}$ s.t. $\frac{m^2}{n^2} = 12.$ Suponer sin pérdida de generalidad que $m,~ n$ no tienen factores en común.
$\Rightarrow m^2 = 12n^2$.
Esto implica que $m^2$ es aún, y por lo tanto ese $m$ es aún; por lo tanto, puede escribirse $2k = m$ algunos $k \in \mathbb{Z}$.
Por lo tanto $m^2 = 12n^2 $
$\Rightarrow 4k^2 = 12n^2 $
$\Rightarrow \frac{k^2}{3} = n^2$
Debido a $n^2$ es un número entero, es claro que $3$ divide $k^2$, lo que implica que $k$ $3$ o $\frac{k}{n}$ tiene un factor (debido a $\frac{k^2}{n^2}= 3$)
Supongamos que la primera es verdadera, y $3$ es un factor de $k$. A continuación, $k = 3j$ para algunos entero j, lo que implica que $(3j)^2 = 3n^2$
$\Rightarrow 9j^2 = 3n^2 $
$\Rightarrow n^2 = 3j^2 $
$\Rightarrow n^2 = \frac{k^2}{n^2}j^2$
$\Rightarrow k = \frac{n^2}{j}$ , pero esto implica que $j$ divide $n^2$, pero $j$ divide $m$, y por hipótesis inicial de $n$ $m$ no tienen factores en común, así que esto es una contradicción.
Supongamos ahora que $\frac{k}{n}$ es un factor de k. A continuación, $k = \frac{k}{n}j$ para algunos entero $j$. A continuación,$(\frac{k}{n}j)^2 = 3n^2$, lo que implica que $3j^2 = 3n^2 \Rightarrow j^2 = n^2 \Rightarrow j = n$. Pero esto significa que $n$ divide $m$, el cual es una contradicción. Por lo tanto, cualquier racional de la representación del número cuyo cuadrado es igual a $12$ conduce a una contradicción, y este número debe, por lo tanto no racional de la representación.