Crítica por favor mi prueba que $\sqrt{12}$ es irracional

Question

Me gustaría críticas de la corrección, concisión y claridad. Gracias!

La proposición: no Hay ningún número racional cuyo cuadrado es de 12

Prueba: Supongamos que no eran un número, $a = \in \mathbb{Q}$ s.t. $a^2 = 12$.

Esto implica que $\exists$ $m, n \in \mathbb{Z}$ s.t. $\frac{m^2}{n^2} = 12.$ Suponer sin pérdida de generalidad que $m,~ n$ no tienen factores en común.

$\Rightarrow m^2 = 12n^2$.

Esto implica que $m^2$ es aún, y por lo tanto ese $m$ es aún; por lo tanto, puede escribirse $2k = m$ algunos $k \in \mathbb{Z}$.

Por lo tanto $m^2 = 12n^2$

$\Rightarrow 4k^2 = 12n^2$

$\Rightarrow \frac{k^2}{3} = n^2$

Debido a $n^2$ es un número entero, es claro que $3$ divide $k^2$, lo que implica que $k$ $3$ o $\frac{k}{n}$ tiene un factor (debido a $\frac{k^2}{n^2}= 3$)

Supongamos que la primera es verdadera, y $3$ es un factor de $k$. A continuación, $k = 3j$ para algunos entero j, lo que implica que $(3j)^2 = 3n^2$

$\Rightarrow 9j^2 = 3n^2$

$\Rightarrow n^2 = 3j^2$

$\Rightarrow n^2 = \frac{k^2}{n^2}j^2$

$\Rightarrow k = \frac{n^2}{j}$ , pero esto implica que $j$ divide $n^2$, pero $j$ divide $m$, y por hipótesis inicial de $n$ $m$ no tienen factores en común, así que esto es una contradicción.

Supongamos ahora que $\frac{k}{n}$ es un factor de k. A continuación, $k = \frac{k}{n}j$ para algunos entero $j$. A continuación,$(\frac{k}{n}j)^2 = 3n^2$, lo que implica que $3j^2 = 3n^2 \Rightarrow j^2 = n^2 \Rightarrow j = n$. Pero esto significa que $n$ divide $m$, el cual es una contradicción. Por lo tanto, cualquier racional de la representación del número cuyo cuadrado es igual a $12$ conduce a una contradicción, y este número debe, por lo tanto no racional de la representación.

Answer 1

Prueba. Suponga $\sqrt{12} \in \mathbb{Q}$ es racional, entonces puede ser escrito como $\sqrt{12}=\cfrac{m}{n}$ $m,n \in \mathbb{Z}$ coprime.

El cuadrado de la igualdad de da $m^2 = 12 n^2 = 3 \cdot 4 \cdot n^2\,$. Por lo tanto, $3 \mid m^2 = m \cdot m$ y, desde $3$ es un número primo, se sigue por Euclides del Lema que $3 \mid m\,$.

A continuación, $m = 3k$ algunos $k \in \mathbb{Z}$ y la sustitución de espalda le da $9 k^2 = 12 n^2 \iff 3 k^2 = 4 n^2\,$. Por lo tanto, $3 \mid 4 n^2$ y, desde $3 \not \mid 4$ se sigue que $3 \mid n^2$, entonces, de nuevo por Euclides del Lexema, $3 \mid n\,$.

Pero $3 \mid m$ $3 \mid n$ contradice la suposición de que $m,n$ son coprime, por lo que la premisa de que $\sqrt{12} \in \mathbb{Q}$ debe ser falsa, por lo tanto, $\sqrt{12}$ es irracional.

La crítica de la publicación de la prueba.

Prueba: Supongamos que no eran un número, $a = \in \mathbb{Q}$ s.t. $a^2 = 12$.

Esto implica que $\exists$ $m, n \in \mathbb{Z}$ s.t. $\frac{m^2}{n^2} = 12.$ Suponer sin pérdida de generalidad que $m,~ n$ no tienen factores en común.

$\Rightarrow m^2 = 12n^2$.

Hasta ahora tan bueno.

Esto implica que $m^2$ es aún, y por lo tanto ese $m$ es incluso;

El hecho de que $2 \mid m^2 \implies 2 \mid m$ puede sonar obvio, pero aún necesita justificación. Se podría argumentar que por la contradicción, o el uso de Euclides del Lexema.

por lo tanto, puede escribirse $2k = m$ algunos $k \in \mathbb{Z}$.

Por lo tanto $m^2 = 12n^2$

$\Rightarrow 4k^2 = 12n^2$

Correcto. Como una observación, $k^2 = 3 n^2$ eliminado el factor de cuadrado perfecto de $4$ y redujo el problema a probar que $\sqrt{3}$ es irracional.

$\Rightarrow \frac{k^2}{3} = n^2$

Debido a $n^2$ es un número entero, es claro que $3$ divide $k^2$, lo que implica que $k$ $3$

En general usted debe evitar las fracciones donde no son necesarios. La línea anterior dio a $k^2 = 3 n^2\,$, lo que implica directamente que $3 \mid k^2\,$.

o $\frac{k}{n}$ tiene un factor (debido a $\frac{k^2}{n^2}= 3$)

Esto no tiene sentido, y es en el hecho de que no se necesita para completar la prueba.

Supongamos que la primera es verdadera, y $3$ es un factor de $k$. A continuación, $k = 3j$ para algunos entero j, lo que implica que $(3j)^2 = 3n^2$

$\Rightarrow 9j^2 = 3n^2$

$\Rightarrow n^2 = 3j^2$

La prueba está completa, a la derecha aquí en este punto, si usted sólo tenga en cuenta que la última igualdad implica que $3 \mid n^2\,$, y por lo tanto $3 \mid n$, lo que contradice la suposición de que $m,n$ son coprime.

[ resto de post cortada ]

Answer 2

"Esto implica que ∃ m,n∈Z, s.t. m2n2=12. Suponer sin pérdida de generalidad que m y n no tienen factores en común."

Yo, personalmente, no diría "sin pérdida de generalidad" . $q \in \mathbb Q$ se define como $q = \frac mn$ para algunos enteros primos relativos. Así que declarar que ellos no tienen factores en común por fiat-- no simplemente por la falta de pérdida de generalidad. (Eso no es un problema.)

"Esto implica que $m^2$ es aún, y que por lo tanto m es aún"

Me gustaría aceptar esto, pero dxiv mucho tiene un punto, que se debe exigir algún tipo de justificación. Yo, personalmente, simplemente ponerlo en definitiva idioma. Yo diría: "por Tanto, $2|m^2$ e, $2$ es primo, $2|m$". Esto puede requerir un poco de justificación en que todos los números tienen una única factorización en primos de modo que para el prime $p$ sabemos si $p|ab$ $p|a$ o $p|b$ así que si $p|m^2$ $p|m$ o $p|m$.

"Debido a que $n^2$ es un número entero, es claro que 3 divide $k^2$, lo que implica que k tiene 3 o $\frac kn$ tiene un factor ".

Como $\frac {k^2}3$ es un número entero, que implica la $3|k^2$. Período. Que siempre sucede. Que cualquier cosa puede suceder, no importa. Se puede tener $k/n$ como un factor o puede tener $7$ como un factor. O puede que no. Esos no importan.

También, si $\frac kn$ es un número entero, entonces es trivial que $\frac kn$ es un factor de $k$ si no $k^2/3$ es un número entero o no. Y si $\frac kn$ no es un entero, entonces la declaración de $\frac kn$ es un factor de $k$ es sin sentido.

Y si $k/n$ es un número entero, entonces $n|m = 2k$ y $n,m$ no tienen ningún factor en común, a continuación,$n = 1$. (Lo que significaría $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ es un número entero que es fácil comprobar que no es el caso).

"si el anterior ( $3|k$ ), a continuación,.... "

Todo lo que está bien y el resto es innecesario.

Pero el resto es un poco de un desastre.

"Supongamos ahora que $k/n$ es un factor de $k$" de Nuevo, esto es trivial si $n|k$ y no tiene sentido si $n \not \mid k$.

Y podemos descartar $n|k$, ya que implicaría $\sqrt{12} = m/n = 2k/n$ es un número entero. Que

Pero tenga cuidado. Esto es cierto de todos los números y nada relevante es probable que surjan. Y no:

"A continuación,$(\frac knj)^2=3n^2$, lo que implica que $3j^2=3n^2$"

En realidad, no, implica $3j^2 = 3n^4$. Y así llegamos $j = n^2$ (podemos suponer $j$ es positivo en este tiempo, como podemos suponer $k$ $n$ son positivas).

"Pero esto significa que n divide a m, que a su vez es una contradicción."

En realidad no es una contradicción si $n = 1$.

Pero esto no es una contradicción que se necesita para ser alcanzado. $k/n$ es un factor de $k$ sólo tiene sentido si $n|k$, lo que implicaría $n|m = 2k$.

Answer 3

Ver esto prueba que si $n$ no es un cuadrado perfecto entonces $\sqrt{n}$ es irracional:

Pregunta de seguimiento: Prueba de irracionalidad de $\sqrt{3}$

La prueba comienza diciendo que si $n$ no es un cuadrado perfecto entonces hay un $k$ tal que $k^2 < n < (k+1)^2$. La prueba analiza if $k^2 = n$.

Tenga en cuenta que esta prueba no no uso divisibilidad.