¿Implica $\operatorname{card}(X) < \operatorname{card}(Y)$ $\operatorname{card}(X^2) < \operatorname{card}(Y^2)$ sin opción?

Question

Miré para ver si esta pregunta ya fue publicado, pero no encontró nada. Por favor, hágamelo saber si esto es un duplicado.

Suponga $X, Y$ son infinitos conjuntos tales que hay una inyección de $X \to Y$, pero no hay inyección de $Y \to X$. Usando el axioma de elección, tenemos que $\operatorname{card}(X) = \operatorname{card}(X^2)$ y de manera similar para $Y$, así que bajo la hipótesis de que no hay inyección de $Y \times Y \to X \times X$.

Realmente tengo dos preguntas relacionadas con el título:

1) la cantidad (si alguna) elección de qué necesitamos para demostrar que no hay inyección de $Y \times Y \to X \times X$?

Y para mi propio interés, como no podía venir para arriba con un argumento:

2) Asumiendo la elección, hay una directa argumento para probar que no hay inyección de $Y \times Y \to X \times X$ sin depender de las cardinalidades de las plazas?

En definitiva, es posible que la respuesta a 1) ya respuestas 2). Tal vez esta es realmente una pregunta trivial, pero lo he pensado por un poco de tiempo y no han hecho ningún progreso.

Answer 1

Esto es falso sin el axioma de elección.

Mostowski construye un modelo de $\sf ZFA$ (teoría de conjuntos con átomos), y en ese modelo cada $n\in\Bbb N$ allí es algunos $A$ tal que: %#% $ de #% así que tomando un % lo suficientemente grande como $$|A|<|A|^2<\ldots<|A|^n=|A|^{n+1}$(e.g. $n$) podemos tomar $n=2$ y $X=A^{n-1}$. El teorema de Jech Sochor es suficiente para transferir esta parte del modelo a un modelo sin átomos.

Así todo, $Y=A^n$ no puede probar eso si $\sf ZF$, entonces el $|X|<|Y|$.