¿Por qué ocurren armónicos cuando arranco una cadena?

Question

Al energizar una cuerda tensa, los siguientes modos de resonancia de la vibración se producen:

Ploteado en el dominio de la frecuencia, se puede ver a sus correspondientes frecuencias:

Pero ¿cuál es el principio físico subyacente? ¿Por qué sucede esto?

Es allí cualquier manera de explicar lo que podría ser entendido por una inteligente de 15 años de edad?

EDIT: voy a dar mi mejor intento hasta la fecha. Aquí va:

• Podemos comenzar con la resonancia simpática. Sonido de una frecuencia en particular, una onda sinusoidal pura. Y darse cuenta de la cadena resuena con simpatía a la frecuencia de cada armónico. Decir que esto es explicado y entendido.

• Ahora imagina que arrancar una cadena es equivalente a una explosión de ruido blanco, que contiene las frecuencias a través de todo el espectro. Este podría ser abordada hacia atrás, comenzando con el azar de las frecuencias y darse cuenta de que la onda resultante producido ve como ruido blanco.

Si el de arriba es científicamente correcto, entonces se restringe el dominio de la pregunta.

Realmente me gustaría ser capaz de entender científicamente y también ser capaces de explicar de forma intuitiva.

PS Imágenes de http://www.embedded.com/design/real-world-applications/4428811/2/Building-an-electronic-guitar-digital-sound-synthesizer-using-a-programmable-SoC

Answer 1

Cuando suelte la cuerda pulsada, su forma es momentáneamente triangular: atados en los extremos y señaló a la ubicación de su dedo. Pero las soluciones a la ecuación de onda no son el triángulo de las funciones, pero sinusoidal funciones, cuyos desplazamientos desde el reposo a obedecer $$y_n(x) \propto \sin \frac{2\pi x}{\lambda_0 / n},$$ where $\lambda_0$ es el doble de la longitud de la cadena. Estas ondas, cuyas frecuencias son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental, son los armónicos.

Hay un teorema que usted puede agregar todos estos se portan bien $y_n(x)$ y generar cualquier forma de $y(x)$ para la verdadera cadena que desea. El tema se llama análisis de Fourier. Y eso es justo lo que sucede cuando usted suelta su cuerda de guitarra. De la cadena de la perspectiva que has emocionado un montón de modos diferentes, con diferentes $n$, y todos ellos comienzan a oscilar en sus propias frecuencias.

Vale la pena señalar que tiene algún control sobre lo que los armónicos se excitan por la elección de donde coger la cuerda. He aquí cómo los armónicos hasta el $n=16$ (cuatro octavas por encima de la fundamental) contribuir a la forma de la cuerda de una guitarra de punteo cerca de la mitad, cerca del agujero de sonido, y cerca de la tuerca:

La "exacta" en forma de triángulo es de color azul, la fundamental de excitación es de color verde; el fundamental además el primer armónico en rojo, cian, rosa fuerte, amarillo, etc. como más armónicos están incluidos. Arrancando una cuerda de la guitarra cerca de la tuerca (en la parte inferior de la figura) que excita un montón y un montón de los armónicos superiores. Esto es una cosa que usted puede oír el sonido de una guitarra: rasgueo cerca de la tuerca produce un duro, pillarse una especie de "eeee" sonido. Por el contrario, si coger la cuerda de la guitarra muy cerca del centro de la cuerda, que poner muy poca energía en la 1ª, 3ª, 5ª, armónicos, que tienen un nodo en el centro de la cuerda. Esto le da una especie de terreno, "oooo" el sonido de las cuerdas. Darle una oportunidad!

Answer 2

Al pulsar una cuerda no se inicia, como el fundamental de arriba. La cadena se tira en una doblada de dos líneas rectas y un ángulo y no puede ser doblado en el medio.

La liberación de la inclinación a la cadena hace un montón de armónicos de diferentes amplitudes dependiendo de qué tan lejos-center estaba doblado. (Que no puede regresar a la inclinación del ángulo de la forma y la energía tiene que ir a algún lugar). El resultado de esa forma es que todos los armónicos y suena como un "rico" de la onda sinusoidal de los armónicos impares dominante.

Una guitarra o un violín, es arrancado muy cerca del centro por lo que es más como un diente de sierra y obtiene todos los armónicos pares e impares con un conjunto de amplitudes distintivo para el instrumento.

Este fue el primero(?) estudiado en detalle por un monje francés llamado Mersenne que utilizan largas y pesadas de cables entre los postes de la valla con el fin de obtener vibraciones suficientemente lento para contar.

Answer 3

La respuesta puede ser derivada matemáticamente. Deje $u(x,t)$ el valor del desplazamiento de un punto a lo largo de la cadena de a $x$ tiempo $t$. La función obedece a la ecuación de onda en el plano de $d=2$ espacio de Minkowski,

$$\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} - v^2 \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2}=0$$

Si nos pellizca la cadena en el medio, esto corresponde a una condición en la configuración de la cadena en el momento inicial, es decir, se determina el $u(x,0)$:

$$u(x,0)= \begin{cases} 1-x, & x\in[0,1]\\ 1+x & x\in[-1,0] \end{casos}$$

Además, debemos imponer las condiciones de contorno de Dirichlet como la cadena se fija en los extremos, es decir,

$$u(0,t)=u(l,t)=0$$

para asegurar el movimiento en $x=0,l$ está prohibido. La solución de la ecuación de onda a través de la serie de Fourier es tedioso pero fácilmente factible. Finalmente, se obtiene la onda de los armónicos, las imágenes de las que están disponibles en el OP.

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Un simple gráfico de la condición inicial $u(x,0)$:

Podríamos especificar cualquier $u(x,0)=f(x)$, o resolver una configuración general.

Answer 4

Al pulsar una cuerda de guitarra el potencial de aplicar a la cadena es de aproximadamente una función delta de Dirac. Es decir, la liberación de la cadena es casi instantánea de la patada. Una de las mejores propiedades de la función delta es que su transformada de Fourier es la unidad. Esto significa que se compone de componentes igual de todas las frecuencias. Así que, al arrancar la cadena de excitar cada resonante, de modo igualmente (en el delta del límite de funcionamiento).

Lo que determina los diferentes sonidos de instrumentos diferentes en el tiempo de cada frecuencia de resonancia puede ser sostenida, es decir, el $Q$ de cada modo resonante. El segundo gráfico muestra estos diferentes $Q$ valores muy bien. El $Q$ es aproximadamente proporcional a la anchura del pico en cada una de las frecuencias donde un mayor $Q$ valor medio más, el más alto pico. Modos de resonancia con una distribución más amplia (menor $Q$) mueren más rápidamente a medida que la transferencia de energía a la estructura de soporte y el calor en la cadena.

Answer 5

Un par de cosas jugar aquí. En primer lugar, la cadena es "cerrado" en ambos extremos, es decir, los extremos están bloqueados y no se pueden mover. Esto significa que cualquier longitud de onda de resonancia debe tener "nodos" , que es una contracción de "no hay desplazamiento," en los extremos. Por comparación, las ondas acústicas en un final abierto del tubo puede tener un nodo en un extremo, pero el otro extremo no tiene restricciones y puede ser de un máximo. A continuación, el resonante "onda estacionaria" para cada frecuencia es en realidad la combinación de los viajes olas que se mueven en fase y en opuestos direcciones a lo largo de la cadena. El armónico fundamental tiene un máximo de la mitad hacia abajo de la cadena; el siguiente armónico tiene dos máximos en 1/4 y 3/4 de la longitud de más de un nodo a 1/2 de la longitud. Y así sucesivamente para todos los armónicos superiores. Tenga en cuenta que usted puede suprimir, por ejemplo, la fundamental al colocar el dedo en la 1/2 de la longitud del punto a la fuerza de un nodo de allí. Esta en el hecho de suprimir todos los armónicos impares que tienen un máximo de 1/2, mientras que permite a los pares armónicos a seguir para propagarse.